Resolva as inequações.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente resolver a inequação
(2x - 3),(x^2 + 1) < 0
Isso faz parte de inequações polinomiais (produto de fatores). Para resolver, a gente vai precisar:
• Encontrar onde cada fator zera ou muda de sinal.
• Entender como o sinal do produto varia entre esses pontos (tabela de sinais).
• Usar que, no caso, é sempre positivo no conjunto dos reais.

Passo 2

Primeiro, anota os fatores e acha suas raízes (valores que tornam cada fator zero):
  1. Fator 2x = 3 Longrightarrow x = 32 : a raiz é quando x^2 = -1, , ou seja x^2 + 1 > 0
  2. Fator : tenta resolver . Isso daria mas não há solução real ( ficaria imaginário). Conclusão: para todo ,

Passo 3

Agora, monta a tabela de sinais rápida:
  • O fator (2x - 3)(x^2 + 1) < 0 é sempre positivo (já vimos).
  • O fator 2x - 3 < 0 muda de sinal em :
    • Para , .
    • Para , .
Como o produto só depende do sinal de , a inequação
fica simplesmente

Passo 4

Resolve 2x < 3 Longrightarrow x < 32 :

Resposta

boxedx < tfrac32

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