Considere uma partícula quântica cuja função de onda unidimensional é dada por:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Qual seria a interpretação física de uma região do espaço onde
?
Qual seria a interpretação física de uma região do espaço onde
Passo 1
O enunciado dá a função de onda unidimensional
com
e
reais e positivos, e pergunta qual é a interpretação física de uma região do espaço onde
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de onda é explícita e não depende de
(é uma gaussiana no espaço). - Os parâmetros
e são constantes reais e positivas. - A questão foca na interpretação de
(a densidade de probabilidade nula) em alguma região do espaço.
Passo 2
Relembrando o que significa
(regra de Born):
- A interpretação probabilística da função de onda diz que a probabilidade de encontrar a partícula entre
e no instante é
- A condição de normalização é
quando a função de onda descreve uma partícula com certeza de existir em algum lugar do eixo
.
Aqui dou uma mini-aula sobre esses conceitos (passo a passo e simples):
-
chama-se densidade de probabilidade. Pense nela como “quantidade de probabilidade por unidade de comprimento” no ponto . - Integrar
numa região dá a probabilidade de encontrar a partícula nessa região. - Se
é grande em torno de , é muito provável que uma medida de posição dê um resultado perto de . Se for pequena, é improvável. - Se
é exatamente zero numa região, a integral sobre qualquer sub-intervalo dessa região é zero, então a probabilidade de encontrar a partícula ali é zero.
Passo 3
Interpretação física de
numa região:
- Se
em todo um intervalo aberto (por exemplo ), então
para quaisquer
. Portanto a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto de
naquele instante
é exatamente zero: é impossível, segundo a teoria, detectar a partícula nessa região naquele instante.
- Em termos intuitivos: a partícula “não está” naquela região — não há chance de medi-la ali naquele tempo.
- Observação prática: “probabilidade zero” é diferente de “probabilidade muito pequena”. Uma função que decai exponencialmente pode ser praticamente nula numericamente longe do centro, mas se não for exatamente zero, a probabilidade, embora pequena, não é zero.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto da gaussiana dada:
- Calculo
para a função fornecida:
- Para todo
finito, . Como é dado real e positivo no enunciado, . - Logo
para todo . Não existe um ponto finito onde . - O único lugar onde
tende a zero é no limite :
mas isso não significa que exista uma região de
finito com probabilidade exatamente zero.
Passo 5
Consequências e exemplos para fixar a ideia (didático e prático):
- Exemplo de contraste: numa caixa com poço infinito de largura
(partícula em uma caixa), autovetores são
com zeros (nós) em
e também em pontos internos para
. Nesses nós
exatamente, portanto a partícula nunca é encontrada nesses pontos quando o sistema está naquele autestado.
- Diferença física entre “zero” e “pequeno”: uma gaussiana dá probabilidade não nula em qualquer ponto finito; uma função com nós (zeros) expressa restrições físicas/boundary conditions (por exemplo, parede infinita) ou propriedades de modos estacionários.
- Sobre evolução temporal: se a função de onda tiver zeros em certo instante, o que ocorre depois depende do Hamiltoniano do sistema. Em presença de barreiras infinitas, zeros em regiões proibidas duram; em sistemas onde o potencial permite evolução contínua, o padrão de zeros pode mudar com o tempo (mas essa é uma questão de dinâmica — aqui a função dada não depende de
).
Passo 6
Resumo didático final (recapitulando como responder numa prova):
- Diga primeiro a regra:
é densidade de probabilidade; integrar em um intervalo dá a probabilidade de encontrar a partícula ali. - Afirme a interpretação: se
numa região, então a probabilidade de medir a partícula naquela região é zero — é impossível encontrá-la ali naquele instante. - Aplique ao caso concreto: calcule
e observe que é estritamente positiva para todo finito, logo não há região com probabilidade exatamente zero; apenas decai para zero no infinito. - Dica prática para prova: sempre calcule
explicitamente; verifique se é identicamente zero em algum intervalo ou se apenas tende a zero. Se for exatamente zero em um intervalo, escreva que a probabilidade é zero ali e, se for pedido, relacione com condições de contorno ou simetria do problema.
Resposta
Uma região onde
significa que a probabilidade de encontrar a partícula naquela região (em aquele instante
) é exatamente zero — ou seja, é impossível medir a partícula ali.
No caso dado, para todo
finito, portanto não existe região de probabilidade exatamente zero (apenas tende a zero quando
).
No caso dado,