Considere uma partícula quântica cuja função de onda unidimensional é dada por:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Determine o significado físico da condição de normalização da função de onda.
Determine o significado físico da condição de normalização da função de onda.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda unidimensional
com
e
reais e positivos, e pede para determinar o significado físico da condição de normalização da função de onda.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de onda depende apenas de
(aparentemente independente do tempo). -
é uma constante multiplicativa desconhecida (deve ser determinada pela normalização). -
é uma constante que controla a “largura” da gaussiana. - O que se pede é o significado físico da condição de normalização aplicada a
.
Passo 2
O que é a função de onda e por que normalizar? (aula curtinha, sem medo)
- Em mecânica quântica,
é o amplitude de probabilidade da partícula estar na posição no instante . Isso quer dizer que a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em é
- A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é
- A condição de normalização exige que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o eixo real seja
(a partícula existe em algum lugar). Formalmente:
- Se uma
não satisfaz essa igualdade, pode-se multiplicá-la por um fator (o ) para torná-la normalizada, desde que seja quadrado-integrável (isto é, ).
Passo 3
Aplicando a normalização à função dada — cálculo passo a passo
- Primeiro escrevo a densidade de probabilidade para a função dada:
porque
.
- A condição de normalização é
- Faço a mudança de variável
, então . A integral torna-se
- Uso a identidade conhecida da integral gaussiana
(Se quiser relembrar a prova: calcule
, note que
e passe para coordenadas polares; obtém-se
, logo
.)
- Portanto a condição de normalização vira
Passo 4
Encontro explícito de
e interpretação do parâmetro
- Resolvo para
:
escolhendo o sinal positivo de
porque o enunciado diz que
é real e positivo.
- Interpretação de
: a forma de é uma gaussiana centrada em . Pode-se calcular a variância (dispersão espacial)
Com a mesma mudança
obtém-se
. Logo o desvio padrão é
Isto mostra que
controla a largura da distribuição espacial: quanto maior
, mais espalhada a probabilidade.
Passo 5
Resumo físico e implicações práticas (jeito amigo e incentivador)
- A condição de normalização garante que a soma (integral) de todas as probabilidades de encontrar a partícula em qualquer posição é
: a partícula deve estar em algum lugar do eixo real. - Para a função dada, isso fixou o valor do fator
, transformando a amplitude arbitrária numa amplitude com interpretação probabilística consistente. - Saber normalizar e interpretar
ajuda muito na prova: quando vir uma gaussiana, lembre-se da integral e da relação entre e o desvio padrão . Você consegue!
Resposta
A condição de normalização significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o eixo real é
:
. Para a função dada isso determina o fator de normalização como
.