Considere uma partícula quântica cuja função de onda unidimensional é dada por:
\Psi(x, t)=A e^{-x^{2} / 2 a^{2}},
onde A e a são constantes reais e positivas.
Determine o significado físico da condição de normalização da função de onda.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda unidimensional
\Psi(x,t)=A e^{-x^{2}/2a^{2}},
com A e a reais e positivos, e pede para determinar o significado físico da condição de normalização da função de onda.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de onda depende apenas de x (aparentemente independente do tempo).
  • A é uma constante multiplicativa desconhecida (deve ser determinada pela normalização).
  • a>0 é uma constante que controla a “largura” da gaussiana.
  • O que se pede é o significado físico da condição de normalização aplicada a \Psi.

Passo 2

O que é a função de onda e por que normalizar? (aula curtinha, sem medo)
  • Em mecânica quântica, \Psi(x,t) é o amplitude de probabilidade da partícula estar na posição x no instante t. Isso quer dizer que a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x é
|\Psi(x,t)|^{2}.
  • A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [x_{1},x_{2}] é
P(x_{1}\le x\le x_{2})=\int_{x_{1}}^{x_{2}} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
  • A condição de normalização exige que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o eixo real seja 1 (a partícula existe em algum lugar). Formalmente:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 1.
  • Se uma \Psi não satisfaz essa igualdade, pode-se multiplicá-la por um fator (o A) para torná-la normalizada, desde que \Psi seja quadrado-integrável (isto é, \int |\Psi|^{2}<\infty).

Passo 3

Aplicando a normalização à função dada — cálculo passo a passo
  • Primeiro escrevo a densidade de probabilidade para a função dada:
|\Psi(x,t)|^{2}=A^{2} e^{-x^{2}/a^{2}},
porque \left(e^{-x^{2}/2a^{2}}\right)^{2}=e^{-x^{2}/a^{2}}.
  • A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} A^{2} e^{-x^{2}/a^{2}}\,dx = 1.
  • Faço a mudança de variável u=\dfrac{x}{a}, então dx = a\,du. A integral torna-se
A^{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/a^{2}}\,dx = A^{2} a \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}\,du.
  • Uso a identidade conhecida da integral gaussiana
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}\,du = \sqrt{\pi}.
(Se quiser relembrar a prova: calcule I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}}du, note que I^{2}=\iint e^{-(u^{2}+v^{2})}dudv e passe para coordenadas polares; obtém-se I^{2}=\pi, logo I=\sqrt{\pi}.)
  • Portanto a condição de normalização vira
A^{2} a \sqrt{\pi} = 1.

Passo 4

Encontro explícito de A e interpretação do parâmetro a
  • Resolvo para A:
A^{2} = \frac{1}{a\sqrt{\pi}} \qquad\Rightarrow\qquad A = \frac{1}{a^{1/2}\,\pi^{1/4}},
escolhendo o sinal positivo de A porque o enunciado diz que A é real e positivo.
  • Interpretação de a: a forma de |\Psi|^{2}=A^{2} e^{-x^{2}/a^{2}} é uma gaussiana centrada em x=0. Pode-se calcular a variância (dispersão espacial)
\langle x\rangle = 0\quad(\text{por simetria}),
\langle x^{2}\rangle = A^{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/a^{2}}\,dx.
Com a mesma mudança u=x/a obtém-se \langle x^{2}\rangle = a^{2}/2. Logo o desvio padrão é
\sigma_{x}=\sqrt{\langle x^{2}\rangle}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Isto mostra que a controla a largura da distribuição espacial: quanto maior a, mais espalhada a probabilidade.

Passo 5

Resumo físico e implicações práticas (jeito amigo e incentivador)
  • A condição de normalização garante que a soma (integral) de todas as probabilidades de encontrar a partícula em qualquer posição é 1: a partícula deve estar em algum lugar do eixo real.
  • Para a função dada, isso fixou o valor do fator A, transformando a amplitude arbitrária numa amplitude com interpretação probabilística consistente.
  • Saber normalizar e interpretar a ajuda muito na prova: quando vir uma gaussiana, lembre-se da integral \int e^{-u^{2}}du=\sqrt{\pi} e da relação entre a e o desvio padrão \sigma_{x}=a/\sqrt{2}. Você consegue!

Resposta

A condição de normalização significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o eixo real é 1: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx=1. Para a função dada isso determina o fator de normalização como \displaystyle A=\dfrac{1}{a^{1/2}\,\pi^{1/4}}.

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