Aluno(a): \_\_\_\_ Paulfude Briedfine Mantson aka Ree 1^{\text {a }} Questão (5,0) : Determinar o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga P e a rotação no apoio (onde o momento M está aplicado) da viga mostrada abaixo, utilizando o método da superposição. Considerar a seção transversal com geometria quadrada constante ao longo do comprimento da viga e módulo de elastícidade E. Dados: Lado da seção transversal b=20 \mathrm{~cm}; L= 2 m ; E=210 G P a, q=5 k N / m ; P=q L ; M=q L^{2} / 8.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
determinar o deslocamento vertical no ponto onde a carga concentrada P é aplicada (este ponto está no meio do vão, i.e. em x=L/2);
determinar a rotação na extremidade direita (no apoio onde o momento M está aplicado), i.e. \theta(L)=v'(L).
Informações fornecidas (pego os valores do enunciado e da figura):
b=20\\ \text{cm}=0,20\\ \text{m} (lado da seção quadrada);
L=2\\ \text{m};
E=210\\ \text{GPa}=210\times10^{9}\\ \text{Pa};
q=5\\ \text{kN/m}=5000\\ \text{N/m};
P=qL (o enunciado relaciona P com q);
M=qL^{2}/8 (o enunciado relaciona M com q).
O que está sendo pedido: deslocamento vertical em x=L/2 e rotação em x=L, considerando a viga apoiada fixa à esquerda e rolamento à direita (viga do tipo “propped cantilever”). A estratégia será usar o princípio da superposição e/ou resultados clássicos para essa geometria, e integrar a equação da linha elástica para obter v(x) e v'(x).
Passo 2
Identificar a configuração estrutural e o método: a viga é uma “propped cantilever” (fixa em x=0, rolete em x=L) carregada por q ao longo de todo o vão. Essa situação é estaticamente indeterminada de grau 1. Vou usar superposição da forma clássica: considerar a viga como cantilever (fixa em x=0, livre em x=L) carregada por q e adicionar uma reação vertical R_B no extremo livre (que representa o rolamento quando impomos a compatibilidade v(L)=0). Vou usar o resultado da compatibilidade para achar R_B, depois obterei o momento fletor M(x) e integrarei duas vezes para obter v(x) e v'(x).
Antes de integrar, calculo a inércia da seção quadrada:
Agora, para obter a viga real (fixa em 0 e rolamento em L) precisamos que a deflexão total no extremo seja zero. Modelamos a viga carregada por q mais uma carga R_B aplicada no extremo (sinal tal que cancela a deflexão). Assim:
O momento fixo em x=0 (reação de momento no apoio fixo) é obtido pela superposição dos efeitos: momento do carregamento q em cantilever é -\tfrac{qL^{2}}{2} (sinal negativo indicando sentido), e o efeito de R_B é +R_B L. Assim
Determinar o diagrama de momento fletor M(x) em função de x (origem em x=0, esquerda):
Para 0\le x\le L temos (soma dos efeitos das reações e da carga distribuída):
M(x)=M_A+R_A x -\frac{q x^{2}}{2}.
Substituindo M_A=-\dfrac{qL^{2}}{8} e R_A=\dfrac{5}{8}qL:
O sinal positivo no cálculo indica deslocamento na equação escolhida; fisicamente é um afundamento (deslocamento para baixo) — normalmente reporta-se como magnitude 1{,}49\times10^{-5}\\ \text{m} para baixo.
Passo 6
Determinar a rotação no apoio direito x=L, isto é \theta(L)=v'(L). Usar a expressão de v'(x):