Aluno(a): \_\_\_\_ Paulfude Briedfine Mantson aka Ree
1^{\text {a }} Questão (5,0) : Determinar o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga P e a rotação no apoio (onde o momento M está aplicado) da viga mostrada abaixo, utilizando o método da superposição. Considerar a seção transversal com geometria quadrada constante ao longo do comprimento da viga e módulo de elastícidade E. Dados: Lado da seção transversal b=20 \mathrm{~cm}; L= 2 m ; E=210 G P a, q=5 k N / m ; P=q L ; M=q L^{2} / 8.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • determinar o deslocamento vertical no ponto onde a carga concentrada P é aplicada (este ponto está no meio do vão, i.e. em x=L/2);
  • determinar a rotação na extremidade direita (no apoio onde o momento M está aplicado), i.e. \theta(L)=v'(L).
Informações fornecidas (pego os valores do enunciado e da figura):
  • b=20\\ \text{cm}=0,20\\ \text{m} (lado da seção quadrada);
  • L=2\\ \text{m};
  • E=210\\ \text{GPa}=210\times10^{9}\\ \text{Pa};
  • q=5\\ \text{kN/m}=5000\\ \text{N/m};
  • P=qL (o enunciado relaciona P com q);
  • M=qL^{2}/8 (o enunciado relaciona M com q).
O que está sendo pedido: deslocamento vertical em x=L/2 e rotação em x=L, considerando a viga apoiada fixa à esquerda e rolamento à direita (viga do tipo “propped cantilever”). A estratégia será usar o princípio da superposição e/ou resultados clássicos para essa geometria, e integrar a equação da linha elástica para obter v(x) e v'(x).

Passo 2

Identificar a configuração estrutural e o método: a viga é uma “propped cantilever” (fixa em x=0, rolete em x=L) carregada por q ao longo de todo o vão. Essa situação é estaticamente indeterminada de grau 1. Vou usar superposição da forma clássica: considerar a viga como cantilever (fixa em x=0, livre em x=L) carregada por q e adicionar uma reação vertical R_B no extremo livre (que representa o rolamento quando impomos a compatibilidade v(L)=0). Vou usar o resultado da compatibilidade para achar R_B, depois obterei o momento fletor M(x) e integrarei duas vezes para obter v(x) e v'(x).
Antes de integrar, calculo a inércia da seção quadrada:
I=\frac{b^{4}}{12}.
Substituindo b=0,20\\ \text{m},
I=\frac{(0,20)^{4}}{12}=\frac{0,0016}{12}=0{,}000133333\\ \text{m}^{4}.
O produto flexão rígida:
EI=E\cdot I=210\times10^{9}\cdot0{,}000133333=2{,}8\times10^{7}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.

Passo 3

Determinar a reação redundante R_B usando superposição (método prático):
  • Para um cantilever (fixo em x=0, livre em x=L) sob carga uniforme q, a deflexão vertical no extremo livre vale
\delta_{q,\text{cant}}\Big|_{x=L}=\frac{qL^{4}}{8EI}.
  • Para um cantilever sob uma carga concentrada P aplicada no extremo livre, a deflexão no extremo é
\delta_{P,\text{cant}}\Big|_{x=L}=\frac{P L^{3}}{3EI}.
Agora, para obter a viga real (fixa em 0 e rolamento em L) precisamos que a deflexão total no extremo seja zero. Modelamos a viga carregada por q mais uma carga R_B aplicada no extremo (sinal tal que cancela a deflexão). Assim:
\frac{qL^{4}}{8EI}-\frac{R_B L^{3}}{3EI}=0.
Isolando R_B:
R_B=\frac{qL^{4}}{8}\cdot\frac{3}{L^{3}}=\frac{3}{8}\,qL.
Portanto
R_B=\frac{3}{8}\,qL.
Como R_A+R_B=qL, temos
R_A=qL-R_B=qL-\frac{3}{8}qL=\frac{5}{8}\,qL.
O momento fixo em x=0 (reação de momento no apoio fixo) é obtido pela superposição dos efeitos: momento do carregamento q em cantilever é -\tfrac{qL^{2}}{2} (sinal negativo indicando sentido), e o efeito de R_B é +R_B L. Assim
M_{A}=-\frac{qL^{2}}{2}+R_B L=-\frac{qL^{2}}{2}+\frac{3}{8}qL\cdot L=-\frac{qL^{2}}{8}.
Isto confirma o valor dado M=qL^{2}/8 (módulo).

Passo 4

Determinar o diagrama de momento fletor M(x) em função de x (origem em x=0, esquerda):
Para 0\le x\le L temos (soma dos efeitos das reações e da carga distribuída):
M(x)=M_A+R_A x -\frac{q x^{2}}{2}.
Substituindo M_A=-\dfrac{qL^{2}}{8} e R_A=\dfrac{5}{8}qL:
M(x)=-\frac{qL^{2}}{8}+\frac{5}{8}qL\,x -\frac{q x^{2}}{2}.
A equação da linha elástica (pequenas deflexões) relaciona a curvatura com o momento:
EI\,v''(x)=-M(x).
Logo
v''(x)= -\frac{M(x)}{EI} = -\frac{1}{EI}\left(-\frac{qL^{2}}{8}+\frac{5}{8}qL\,x -\frac{q x^{2}}{2}\right).
Simplificando o sinal:
v''(x)=\frac{q}{EI}\left(\frac{L^{2}}{8}-\frac{5L}{8}x+\frac{x^{2}}{2}\right).
Integro duas vezes, usando as condições v(0)=0 e v'(0)=0 (apoio fixo em x=0):
Primeira integração (derivada):
v'(x)=\frac{q}{EI}\left(\frac{L^{2}x}{8}-\frac{5L x^{2}}{16}+\frac{x^{3}}{6}\right).
Segunda integração:
v(x)=\frac{q}{EI}\left(\frac{L^{2}x^{2}}{16}-\frac{5L x^{3}}{48}+\frac{x^{4}}{24}\right).

Passo 5

Avaliar o deslocamento no ponto de aplicação de P, que pela figura está em x=L/2. Substituindo x=L/2 em v(x):
Calcular os poderes:
x=\frac{L}{2},\quad x^{2}=\frac{L^{2}}{4},\quad x^{3}=\frac{L^{3}}{8},\quad x^{4}=\frac{L^{4}}{16}.
Substituindo:
v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{q}{EI}\left(\frac{L^{2}}{16}\cdot\frac{L^{2}}{4}-\frac{5L}{48}\cdot\frac{L^{3}}{8}+\frac{1}{24}\cdot\frac{L^{4}}{16}\right).
Simplificando fator L^{4}:
v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{qL^{4}}{EI}\left(\frac{1}{64}-\frac{5}{384}+\frac{1}{384}\right) =\frac{qL^{4}}{EI}\left(\frac{1}{192}\right).
Portanto, expressão final simbólica:
\boxed{v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{qL^{4}}{192\,EI}}.
Agora substituo valores numéricos:
q=5000\\ \text{N/m},\quad L=2\\ \text{m},\quad EI=2{,}8\times10^{7}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
qL^{4}=5000\cdot(2)^{4}=5000\cdot16=80000\\ \text{N}\cdot\text{m}^{4}.
v\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{80000}{192\cdot2{,}8\times10^{7}}=\frac{80000}{5{,}376\times10^{6}}=1{,}4875\times10^{-5}\\ \text{m}.
Usando vírgula decimal:
v\!\left(\frac{L}{2}\right)\approx 1{,}49\times10^{-5}\\ \text{m}=0{,}0149\\ \text{mm}.
O sinal positivo no cálculo indica deslocamento na equação escolhida; fisicamente é um afundamento (deslocamento para baixo) — normalmente reporta-se como magnitude 1{,}49\times10^{-5}\\ \text{m} para baixo.

Passo 6

Determinar a rotação no apoio direito x=L, isto é \theta(L)=v'(L). Usar a expressão de v'(x):
v'(x)=\frac{q}{EI}\left(\frac{L^{2}x}{8}-\frac{5L x^{2}}{16}+\frac{x^{3}}{6}\right).
Avalio em x=L:
v'(L)=\frac{qL^{3}}{EI}\left(\frac{1}{8}-\frac{5}{16}+\frac{1}{6}\right).
Calculo interno com denominador comum 48:
\frac{1}{8}-\frac{5}{16}+\frac{1}{6}=\frac{6}{48}-\frac{15}{48}+\frac{8}{48}=\frac{-1}{48}.
Logo
\boxed{\theta(L)=v'(L)=-\frac{qL^{3}}{48\,EI}}.
O sinal negativo indica rotação no sentido horário (dependendo da convenção); a magnitude é \dfrac{qL^{3}}{48EI}.
Substituindo numericamente:
qL^{3}=5000\cdot(2)^{3}=5000\cdot8=40000.
\theta(L)=-\frac{40000}{48\cdot2{,}8\times10^{7}}=-\frac{40000}{1{,}344\times10^{9}}=-2{,}976\times10^{-5}\\ \text{rad}.
Arredondando:
\theta(L)\approx -2{,}98\times10^{-5}\\ \text{rad}.

Resposta

v\!\left(\dfrac{L}{2}\right)=\dfrac{qL^{4}}{192\,EI}\approx 1{,}49\times10^{-5}\\ \text{m} (para baixo)
\theta(L)=-\dfrac{qL^{3}}{48\,EI}\approx -2{,}98\times10^{-5}\\ \text{rad}

Exercícios relacionados