Considere uma partícula livre de massa
movendo-se no espaço tridimensional.
a) Inicialmente, escreva a energia cinética do sistema em coordenadas cartesianas
. Em seguida, determine a energia potencial (dica: a partícula é livre). Com base nesses resultados, escreva a Lagrangiana do sistema.
b) Reescreva a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas (
). Para isso, utilize as transformações
Demonstre que, nessas coordenadas, a Lagrangiana pode ser escrita como
a) Inicialmente, escreva a energia cinética do sistema em coordenadas cartesianas
b) Reescreva a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas (
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Temos uma partícula livre de massa
movendo-se no espaço tridimensional. - Pergunta (a): escrever a energia cinética do sistema em coordenadas cartesianas
; determinar a energia potencial (dica: a partícula é livre); a partir disso, escrever a Lagrangiana do sistema. - Pergunta (b): reescrever a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas
usando as transformações
- Objetivo final: demonstrar que, em coordenadas cilíndricas,
Passo 2
Energia cinética em coordenadas cartesianas: ideia e fórmula.
- A energia cinética de uma partícula de massa
que se move com velocidade é dada por
onde
é o quadrado do módulo da velocidade.
- Em coordenadas cartesianas a posição da partícula é
. A velocidade tem componentes , , . - Portanto o quadrado da velocidade é
e a energia cinética fica
Explicação curta: somamos os quadrados das componentes da velocidade porque
.
Passo 3
Energia potencial para partícula livre.
- “Partícula livre” significa que não há forças externas dependentes da posição agindo sobre a partícula (nenhum campo de gravidade, mola, etc.). Logo a energia potencial é constante; podemos escolher a referência de energia potencial e tomar
- Observação: escolher
é conveniente e correta porque em Lagrangiana apenas diferenças/importâncias relativas de importam; uma constante adicionada a não altera as equações do movimento.
Passo 4
Lagrangiana em coordenadas cartesianas.
- A Lagrangiana é definida por
. Com do Passo 2 e do Passo 3, obtemos
- Isso responde a parte (a): energia cinética, energia potencial e Lagrangiana em cartesianas.
Passo 5
Preparação para trocar para coordenadas cilíndricas: transformar posições e usar regra da cadeia para velocidades.
- Nas coordenadas cilíndricas as variáveis generalizadas são
com as relações dadas:
- Para reescrever a Lagrangiana precisamos das velocidades
em função de . Usaremos a regra da cadeia / derivação temporal (produto e composição).
Passo 6
Cálculo explícito de
,
,
.
- Diferenciando
em relação ao tempo (produto e dependência de ):
Como
, temos
- De modo análogo, diferenciando
:
- E
permanece a mesma (pois é coordenada comum às duas representações).
Passo 7
Calcular
e simplificar.
- Escrevemos os quadrados:
- Somando
os termos mistos em se cancelam porque um é negativo e o outro positivo:
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Explicação didática: os termos cruzados são da forma
e se anulam; o restante agrupa em
e
graças à soma das quadrados de seno e cosseno igual a 1.]
Passo 8
Energia cinética em coordenadas cilíndricas e Lagrangiana final.
- Substituindo no
do Passo 2:
- Como
, a Lagrangiana é
- Interpretação física rápida:
é a energia cinética radial, corresponde ao termo cinético associado ao movimento angular (velocidade tangencial ), e ao movimento axial.