Considere uma partícula livre de massa m movendo-se no espaço tridimensional.
a) Inicialmente, escreva a energia cinética do sistema em coordenadas cartesianas (x, y, z). Em seguida, determine a energia potencial (dica: a partícula é livre). Com base nesses resultados, escreva a Lagrangiana do sistema.
b) Reescreva a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ). Para isso, utilize as transformações
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \quad z=z .
Demonstre que, nessas coordenadas, a Lagrangiana pode ser escrita como
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Temos uma partícula livre de massa m movendo-se no espaço tridimensional.
  • Pergunta (a): escrever a energia cinética do sistema em coordenadas cartesianas (x,y,z); determinar a energia potencial (dica: a partícula é livre); a partir disso, escrever a Lagrangiana do sistema.
  • Pergunta (b): reescrever a Lagrangiana em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) usando as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • Objetivo final: demonstrar que, em coordenadas cilíndricas,
L=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\big).

Passo 2

Energia cinética em coordenadas cartesianas: ideia e fórmula.
  • A energia cinética de uma partícula de massa m que se move com velocidade \mathbf{v} é dada por
T=\frac{1}{2}m v^{2},
onde v^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} é o quadrado do módulo da velocidade.
  • Em coordenadas cartesianas a posição da partícula é (x(t),y(t),z(t)). A velocidade tem componentes \dot{x}=\dfrac{dx}{dt}, \dot{y}=\dfrac{dy}{dt}, \dot{z}=\dfrac{dz}{dt}.
  • Portanto o quadrado da velocidade é
v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2},
e a energia cinética fica
T=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\big).
Explicação curta: somamos os quadrados das componentes da velocidade porque \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\sum v_i^2.

Passo 3

Energia potencial para partícula livre.
  • “Partícula livre” significa que não há forças externas dependentes da posição agindo sobre a partícula (nenhum campo de gravidade, mola, etc.). Logo a energia potencial é constante; podemos escolher a referência de energia potencial e tomar
V=0.
  • Observação: escolher V=0 é conveniente e correta porque em Lagrangiana apenas diferenças/importâncias relativas de V importam; uma constante adicionada a V não altera as equações do movimento.

Passo 4

Lagrangiana em coordenadas cartesianas.
  • A Lagrangiana é definida por L=T-V. Com T do Passo 2 e V=0 do Passo 3, obtemos
L=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\big).
  • Isso responde a parte (a): energia cinética, energia potencial e Lagrangiana em cartesianas.

Passo 5

Preparação para trocar para coordenadas cilíndricas: transformar posições e usar regra da cadeia para velocidades.
  • Nas coordenadas cilíndricas as variáveis generalizadas são (r,\theta,z) com as relações dadas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
  • Para reescrever a Lagrangiana precisamos das velocidades \dot{x},\dot{y},\dot{z} em função de \dot{r},\dot{\theta},\dot{z}. Usaremos a regra da cadeia / derivação temporal (produto e composição).

Passo 6

Cálculo explícito de \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}.
  • Diferenciando x=r\cos\theta em relação ao tempo (produto e dependência de \theta(t)):
\dot{x}=\frac{d}{dt}(r\cos\theta)=\dot{r}\cos\theta + r\frac{d}{dt}(\cos\theta).
Como \dfrac{d}{dt}(\cos\theta)=-\sin\theta\,\dot{\theta}, temos
\dot{x}=\dot{r}\cos\theta - r\sin\theta\,\dot{\theta}.
  • De modo análogo, diferenciando y=r\sin\theta:
\dot{y}=\dot{r}\sin\theta + r\cos\theta\,\dot{\theta}.
  • E \dot{z}=\dfrac{d}{dt}z=\dot{z} permanece a mesma (pois z é coordenada comum às duas representações).

Passo 7

Calcular \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} e simplificar.
  • Escrevemos os quadrados:
\begin{aligned} \dot{x}^{2} &= (\dot{r}\cos\theta - r\sin\theta\,\dot{\theta})^{2} = \dot{r}^{2}\cos^{2}\theta -2\dot{r}\,r\cos\theta\sin\theta\,\dot{\theta} + r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\theta}^{2},\\[4pt] \dot{y}^{2} &= (\dot{r}\sin\theta + r\cos\theta\,\dot{\theta})^{2} = \dot{r}^{2}\sin^{2}\theta + 2\dot{r}\,r\sin\theta\cos\theta\,\dot{\theta} + r^{2}\cos^{2}\theta\,\dot{\theta}^{2}. \end{aligned}
  • Somando \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} os termos mistos em \dot{r}\,r\dot{\theta} se cancelam porque um é negativo e o outro positivo:
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} = \dot{r}^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + r^{2}\dot{\theta}^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta).
  • Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}.
Explicação didática: os termos cruzados são da forma \pm 2\dot{r}r\cos\theta\sin\theta\dot{\theta} e se anulam; o restante agrupa em \dot{r}^{2} e r^{2}\dot{\theta}^{2} graças à soma das quadrados de seno e cosseno igual a 1.]

Passo 8

Energia cinética em coordenadas cilíndricas e Lagrangiana final.
  • Substituindo no T do Passo 2:
T=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\big) =\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\big).
  • Como V=0, a Lagrangiana é
L=T-V=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\big).
  • Interpretação física rápida: \dot{r}^{2} é a energia cinética radial, r^{2}\dot{\theta}^{2} corresponde ao termo cinético associado ao movimento angular (velocidade tangencial \,v_\theta=r\dot{\theta}\,), e \dot{z}^{2} ao movimento axial.

Resposta

L=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\big)

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