Um sistema regulador tem a planta: Y(s)X(s)=10(s+1)(s+2)(s+3). Defina as variáveis de estado como: x1=y, x2=x1^prime, x3=x2^prime.
Usando-se o controle de realimentaçăo de estado u=-K x, desejamos localizar os polos de malha fechada em: s=-2 pm j 2raiz3, s=-10. Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado necessária para satisfazer as condições do problema utilizando dois métodos:
b) Fórmula de Ackermann.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que vamos usar.
– Enunciado em poucas palavras: temos um sistema com função de transferência
Y(s)X(s) ;=; 10(s+1)(s+2)(s+3)
e definimos estados
x1=y, x2=dot y, x3=ddot y
Queremos realimentar o estado com
u=-Kx
e forçar os polos de malha fechada em
s=-2pm j,2raiz3, s=-10
O método que vamos usar aqui é a Fórmula de Ackermann para projeto de realimentação de estado.

Passo 2

Primeiro, achamos o modelo estado–espaço. Da FT
G(s)=Y(s)U(s)=10s^3+6s^2+11s+6
vem a equação diferencial
y'''+6y''+11y'+6y=10,u
Com
x1=y,;x2=dot y,;x3=ddot y,
temos
dot x1 = x2 dot x2 = x3 dot x3 = -6,x1 -11,x2 -6,x3 +10,u
Logo
A= 0&1&0 0&0&1 -6&-11&-6 , B=0010

Passo 3

Precisamos checar a controlabilidade. Montamos
C = [,B;;A,B;;A^2B,]
Calculando:
B=0010, AB=010-60, A^2B=10-60250
Então
C = 0&0&10 0&10&-60 10&-60&250
O determinante dá . Logo o sistema é controlável e podemos aplicar Ackermann.

Passo 4

Vamos achar o polinômio desejado. Os polos são
phid(s) = (s+10)l(s^2+4s+12r) = s^3 +14s^2 +52s +120 e , então

Passo 5

A Fórmula de Ackermann diz
K = e3^T, C^-1,phid(A),
onde s^3+6s^2+11s+6, .
Mas, como nosso [-(6+10,k1),;-(11+10,k2),;-(6+10,k3)], já está na forma canônica controlável (com s^3 + (6+10k3),s^2 + (11+10k2),s + (6+10k1) , 6 +10,k3 =14, 11+10,k2 =52, 6 +10,k1 =120 ), resulta em uma forma bem simples de comparar coeficientes.
No laço aberto o polinômio é
k3 =tfrac14-610=0.8, k2 =tfrac52-1110=4.1, k1=tfrac120-610=11.4
no laço fechado com (escrevendo ) o termo da última linha de fica
e gera o polinômio
Basta igualar aos coeficientes de :
Daí

Resposta

A matriz (vetor) de ganhos pelo método de Ackermann é
boxedK = 11.4 & 4.1 & 0.8

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