Um sistema regulador tem a planta: . Defina as variáveis de estado como: .
Usando-se o controle de realimentaçăo de estado , desejamos localizar os polos de malha fechada em: . Determine a matriz de ganho de realimentação de estado necessária para satisfazer as condições do problema utilizando dois métodos:
b) Fórmula de Ackermann.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que vamos usar.
– Enunciado em poucas palavras: temos um sistema com função de transferência
e definimos estados
Queremos realimentar o estado com
e forçar os polos de malha fechada em
O método que vamos usar aqui é a Fórmula de Ackermann para projeto de realimentação de estado.
Passo 2
Primeiro, achamos o modelo estado–espaço. Da FT
vem a equação diferencial
Com
temos
Logo
A= 0&1&0 0&0&1 -6&-11&-6 , B=0010
Passo 3
Precisamos checar a controlabilidade. Montamos
C = [,B;;A,B;;A^2B,]
Calculando:
B=0010, AB=010-60, A^2B=10-60250
Então
C = 0&0&10 0&10&-60 10&-60&250
O determinante dá . Logo o sistema é controlável e podemos aplicar Ackermann.
Passo 4
Vamos achar o polinômio desejado. Os polos são phid(s) = (s+10)l(s^2+4s+12r) = s^3 +14s^2 +52s +120 e , então
Passo 5
A Fórmula de Ackermann diz
K = e3^T, C^-1,phid(A),
onde s^3+6s^2+11s+6, .
Mas, como nosso [-(6+10,k1),;-(11+10,k2),;-(6+10,k3)], já está na forma canônica controlável (com s^3 + (6+10k3),s^2 + (11+10k2),s + (6+10k1) , 6 +10,k3 =14, 11+10,k2 =52, 6 +10,k1 =120 ), resulta em uma forma bem simples de comparar coeficientes.