4.8** Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio R. Se o disco recebe um pequeno impulso de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera? [Sugestão: use a conservação da energia para determinar a velocidade do disco em função da sua altura, em seguida, use a segunda lei de Newton para determinar a força normal da esfera sobre o disco. Para que valor da força normal o disco deixa a superfície da esfera?]

Passo 1

O enunciado dá um pequeno disco sem atrito colocado no topo de uma esfera fixa de raio R. O disco recebe um pequeno impulso e escorrega para baixo. A pergunta é: “até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera?”
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos introduzir sem perda de generalidade):
  • Raio da esfera: R.
  • A esfera é fixa e não há atrito entre disco e esfera.
  • A gravidade é g.
  • A posição inicial do disco é no topo da esfera (altura vertical máxima relativa ao centro: R).
  • Vamos usar um ângulo \theta medido do topo (eixo vertical) até a posição atual do disco; quando o disco está no ângulo \theta, sua altura vertical em relação ao centro da esfera é y(\theta)=R\cos\theta.
  • O que se pede é a distância vertical que o disco desceu desde o topo até o instante em que perde contato com a esfera; em símbolos, \Delta h = R - y(\theta_\text{saída}) = R(1-\cos\theta_\text{saída})íí.
  • Não foi dado o valor da massa do disco; isso indica que a resposta deve ser independente da massa (ela se cancela nas equações).

Passo 2

Usar conservação de energia para obter a velocidade do disco em função do ângulo \theta.
Explicando a ideia: sem atrito, a energia mecânica (energia potencial gravitacional + energia cinética) é constante. Ao descer do topo até o ângulo \theta, a perda de energia potencial vira energia cinética.
Variáveis:
  • m: massa do disco (irá se cancelar).
  • v(\theta): velocidade do disco quando atinge o ângulo \theta.
  • Energia potencial no topo (referência conveniente): U_{\text{top}}=m g R se o referencial for o centro; porém o importante é a diferença de altura entre os dois pontos.
  • Queda vertical desde o topo até \theta: \Delta h = R - R\cos\theta = R(1-\cos\theta).
Equação de conservação de energia entre o topo ( \theta=0) e um ângulo genérico \theta:
\text{variação de energia potencial} = \text{energia cinética adquirida}çãé
ou seja
m g \bigl(R - R\cos\theta\bigr) = \tfrac{1}{2} m v(\theta)^2.
Cancelando m e isolando v(\theta)^2, obtemos
v(\theta)^2 = 2 g R (1-\cos\theta).

Passo 3

Aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (direção que liga o disco ao centro da esfera) para relacionar a normal com a velocidade.
Explicando o cenário e os sinais: escolha a direção radial para fora do centro como positiva. As forças radiais que atuam no disco são:
  • a força normal da esfera sobre o disco, N, dirigida para fora do centro (positiva na nossa escolha);
  • a componente radial da gravidade, que aponta para baixo (para o centro quando \theta é pequeno) e tem projeção radial para fora igual a -mg\cos\theta (negativa porque aponta para dentro).
A aceleração radial é a aceleração centrípeta, que aponta para dentro, isto é, para fora é -v^2/R. Assim a segunda lei na direção radial (fora positivo) é
N - mg\cos\theta = m\left(-\frac{v^2}{R}\right).
Rearranjando,
N = mg\cos\theta - m\frac{v^2}{R}.
Interpretação física: a força normal é a componente da gravidade que sobrou depois de fornecer a aceleração centrípeta. Quando N fica nula, a superfície não empurra mais o disco e ele perde contato.

Passo 4

Impor a condição de perda de contato: N=0, usar a expressão de v(\theta)^2 da energia e resolver para \theta.
Da equação do passo anterior, N=0 implica
mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R}.
Cancelar m e substituir v^2 obtido pela conservação de energia:
g\cos\theta = \frac{1}{R}\,2gR(1-\cos\theta).
Simplificar (cancelar g e R):
\cos\theta = 2(1-\cos\theta).
Desenvolvendo:
\cos\theta = 2 - 2\cos\theta
3\cos\theta = 2
\cos\theta = \frac{2}{3}.
Portanto o ângulo no qual o disco perde contato com a esfera satisfaz \cos\theta_\text{saída}=\tfrac{2}{3}í.

Passo 5

Calcular a altura vertical descendida \Delta h até a saída.
Lembre que a altura do disco em relação ao centro quando está no ângulo \theta é y(\theta)=R\cos\theta. Assim a distância vertical descendida desde o topo até a saída é
\Delta h = R - R\cos\theta_\text{saída} = R\bigl(1-\cos\theta_\text{saída}\bigr).íí
Substituindo \cos\theta_\text{saída}=\tfrac{2}{3}í:
\Delta h = R\left(1-\frac{2}{3}\right) = R\cdot\frac{1}{3} = \frac{R}{3}.
Também é útil notar (como checagem) que a altura vertical do disco no momento de saída é
y(\theta_\text{saída}) = R\cos\theta_\text{saída} = R\cdot\frac{2}{3} = \frac{2R}{3},íí
ou seja, ele perde contato quando alcança os \tfrac{2}{3}R acima do centro, tendo descido \tfrac{R}{3} desde o topo.

Resposta

\dfrac{R}{3}

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