4.8** Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio
. Se o disco recebe um pequeno impulso de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera? [Sugestão: use a conservação da energia para determinar a velocidade do disco em função da sua altura, em seguida, use a segunda lei de Newton para determinar a força normal da esfera sobre o disco. Para que valor da força normal o disco deixa a superfície da esfera?]
Passo 1
O enunciado dá um pequeno disco sem atrito colocado no topo de uma esfera fixa de raio
. O disco recebe um pequeno impulso e escorrega para baixo. A pergunta é: “até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superfície da esfera?”
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos introduzir sem perda de generalidade):
- Raio da esfera:
. - A esfera é fixa e não há atrito entre disco e esfera.
- A gravidade é
. - A posição inicial do disco é no topo da esfera (altura vertical máxima relativa ao centro:
). - Vamos usar um ângulo
medido do topo (eixo vertical) até a posição atual do disco; quando o disco está no ângulo , sua altura vertical em relação ao centro da esfera é . - O que se pede é a distância vertical que o disco desceu desde o topo até o instante em que perde contato com a esfera; em símbolos,
. - Não foi dado o valor da massa do disco; isso indica que a resposta deve ser independente da massa (ela se cancela nas equações).
Passo 2
Usar conservação de energia para obter a velocidade do disco em função do ângulo
.
Explicando a ideia: sem atrito, a energia mecânica (energia potencial gravitacional + energia cinética) é constante. Ao descer do topo até o ângulo
, a perda de energia potencial vira energia cinética.
Variáveis:
-
: massa do disco (irá se cancelar). -
: velocidade do disco quando atinge o ângulo . - Energia potencial no topo (referência conveniente):
se o referencial for o centro; porém o importante é a diferença de altura entre os dois pontos. - Queda vertical desde o topo até
: .
Equação de conservação de energia entre o topo (
) e um ângulo genérico
:
ou seja
Cancelando
e isolando
, obtemos
Passo 3
Aplicar a segunda lei de Newton na direção radial (direção que liga o disco ao centro da esfera) para relacionar a normal com a velocidade.
Explicando o cenário e os sinais: escolha a direção radial para fora do centro como positiva. As forças radiais que atuam no disco são:
- a força normal da esfera sobre o disco,
, dirigida para fora do centro (positiva na nossa escolha); - a componente radial da gravidade, que aponta para baixo (para o centro quando
é pequeno) e tem projeção radial para fora igual a (negativa porque aponta para dentro).
A aceleração radial é a aceleração centrípeta, que aponta para dentro, isto é, para fora é
. Assim a segunda lei na direção radial (fora positivo) é
Rearranjando,
Interpretação física: a força normal é a componente da gravidade que sobrou depois de fornecer a aceleração centrípeta. Quando
fica nula, a superfície não empurra mais o disco e ele perde contato.
Passo 4
Impor a condição de perda de contato:
, usar a expressão de
da energia e resolver para
.
Da equação do passo anterior,
implica
Cancelar
e substituir
obtido pela conservação de energia:
Simplificar (cancelar
e
):
Desenvolvendo:
Portanto o ângulo no qual o disco perde contato com a esfera satisfaz
.
Passo 5
Calcular a altura vertical descendida
até a saída.
Lembre que a altura do disco em relação ao centro quando está no ângulo
é
. Assim a distância vertical descendida desde o topo até a saída é
Substituindo
:
Também é útil notar (como checagem) que a altura vertical do disco no momento de saída é
ou seja, ele perde contato quando alcança os
acima do centro, tendo descido
desde o topo.