4.18** Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: (a) O vetor
um ponto qualquer
é perpendicular à superfície com
constante
. (Escolha um pequeno deslocamento
que esteja sobre a superficie com
constante. O que é
para tal deslocamento?) (b) A direção do
em qualquer ponto
é a direção em que
cresce mais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
-
Pede duas coisas:
(a) Mostrar que o vetorem um ponto qualquer é perpendicular à superfície de nível (superfície onde é constante) que passa por .
(b) Mostrar que a direção deem qualquer ponto é a direção em que cresce mais rapidamente. -
Informação / propriedade fornecida (propriedade (4.35) do gradiente) que vamos usar explicitamente:
Aqui
é a variação (diferencial) de
correspondente a um deslocamento infinitesimal
, e
é o vetor gradiente em
.
Passo 2
Entendendo a propriedade
e o que cada coisa significa (aula rápida e concreta).
- Definição do gradiente: para uma função
,
Cada componente
é a taxa de variação de
quando se varia só a coordenada
.
- Interpretação de
: para um pequeno deslocamento ,
que é a mesma coisa que a igualdade vetorial em
. Ou seja,
é a soma ponderada das pequenas mudanças das coordenadas, com pesos dados pelas derivadas parciais.
- Interpretação geométrica do produto escalar: para dois vetores
e ,
onde
é o ângulo entre eles. Em particular,
significa que
ou seja os vetores são perpendiculares.
Passo 3
Prova da parte (a): por que
é perpendicular à superfície de nível.
- Pense numa superfície de nível (superfície onde
é constante). Se um deslocamento “está sobre a superfície”, isto significa que ao mover-se ao longo dessa superfície não muda — portanto para tal deslocamento vale
- Usando a propriedade dada, para esse deslocamento tangente temos
- Como o produto escalar é zero, concluímos que
é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor tangente da superfície naquele ponto. Isso significa exatamente que é perpendicular à superfície de nível em .
Comentário intuitivo: a superfície de nível é formada por todas as direções onde
não muda; o gradiente mede a variação de
— portanto ele não “aponta” ao longo da superfície, mas sai para fora dela, perpendicularmente.
Passo 4
Exemplo concreto para fixar (ajuda prática).
- Tome
. As superfícies de nível (no plano) são círculos . - O gradiente é
- Um vetor tangente típico ao círculo em
é . Fazendo o produto escalar:
- Resultado:
é perpendicular ao vetor tangente , ou seja é perpendicular à circunferência de nível — encaixa com a prova geral.
Passo 5
Prova da parte (b): por que
aponta na direção de maior crescimento de
.
- Direção e derivada direcional: seja
um vetor unitário ( ). A derivada direcional de na direção é, por definição para deslocamentos unitários,
Isso dá a taxa de variação de
por unidade de comprimento ao mover-se na direção
.
- Escrevendo o produto escalar em termos de norma e ângulo:
onde
é o ângulo entre
e
, e usamos
.
-
Para um dado
fixo, a quantidade varia entre e . Assim: - O máximo possível de
ocorre quando , isto é , ou seja quando tem a mesma direção de . O valor máximo é
- O mínimo (maior decrescimento) ocorre quando
, isto é na direção oposta a , com valor .
- O máximo possível de
-
Conclusão: a direção de
é exatamente a direção onde a derivada direcional é máxima — portanto é a direção de maior crescimento de . A magnitude dá a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (interpretação prática).
- Voltemos a
. No ponto ,
- A direção de maior crescimento é o vetor
(ou o unitário correspondente ). A derivada direcional máxima por unidade de comprimento é . - Se eu me mover perpendicularmente (por exemplo na direção
normalizada), a derivada direcional é zero, ou seja não há variação de na primeira ordem — isso confirma a parte (a).
Resposta
(a)
é perpendicular à superfície de nível em
, pois um deslocamento tangente
satisfaz
e então
, logo
.
(b) A direção de
é a direção de maior crescimento de
: para todo vetor unitário
vale
, que é máximo quando
(ou seja
paralelo a
), com valor máximo
.