4.18** Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: (a) O vetor \nabla f \mathrm{em} um ponto qualquer \mathbf{r} é perpendicular à superfície com f constante \mathrm{em} \mathbf{r}. (Escolha um pequeno deslocamento d \mathbf{r} que esteja sobre a superficie com f constante. O que é d f para tal deslocamento?) (b) A direção do \nabla f em qualquer ponto \mathbf{r} é a direção em que f cresce mais

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede duas coisas:
    (a) Mostrar que o vetor \nabla f em um ponto qualquer \mathbf{r} é perpendicular à superfície de nível (superfície onde f é constante) que passa por \mathbf{r}.
    (b) Mostrar que a direção de \nabla f em qualquer ponto \mathbf{r} é a direção em que f cresce mais rapidamente.
  • Informação / propriedade fornecida (propriedade (4.35) do gradiente) que vamos usar explicitamente:
df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}.
Aqui df é a variação (diferencial) de f correspondente a um deslocamento infinitesimal d\mathbf{r}, e \nabla f é o vetor gradiente em \mathbf{r}.

Passo 2

Entendendo a propriedade df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} e o que cada coisa significa (aula rápida e concreta).
  • Definição do gradiente: para uma função f(x,y,z),
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente \partial f/\partial x é a taxa de variação de f quando se varia só a coordenada x.
  • Interpretação de df: para um pequeno deslocamento d\mathbf{r} = (dx,dy,dz),
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz,
que é a mesma coisa que a igualdade vetorial em \,df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}\,. Ou seja, df é a soma ponderada das pequenas mudanças das coordenadas, com pesos dados pelas derivadas parciais.
  • Interpretação geométrica do produto escalar: para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles. Em particular, \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 significa que \theta=90^\circ ou seja os vetores são perpendiculares.

Passo 3

Prova da parte (a): por que \nabla f é perpendicular à superfície de nível.
  • Pense numa superfície de nível (superfície onde f é constante). Se um deslocamento d\mathbf{r} “está sobre a superfície”, isto significa que ao mover-se ao longo dessa superfície f não muda — portanto para tal deslocamento d\mathbf{r} vale
df = 0.
  • Usando a propriedade dada, para esse deslocamento tangente temos
0 = df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}.
  • Como o produto escalar é zero, concluímos que \nabla f é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor tangente d\mathbf{r} da superfície naquele ponto. Isso significa exatamente que \nabla f é perpendicular à superfície de nível em \mathbf{r}.
Comentário intuitivo: a superfície de nível é formada por todas as direções onde f não muda; o gradiente mede a variação de f — portanto ele não “aponta” ao longo da superfície, mas sai para fora dela, perpendicularmente.

Passo 4

Exemplo concreto para fixar (ajuda prática).
  • Tome f(x,y)=x^2+y^2. As superfícies de nível (no plano) são círculos x^2+y^2=\text{constante}.
  • O gradiente é
\nabla f = (2x,2y).
  • Um vetor tangente típico ao círculo em (x,y) é \mathbf{t}=(-y,x). Fazendo o produto escalar:
\nabla f\cdot\mathbf{t} = (2x,2y)\cdot(-y,x) = 2x(-y)+2y(x)=0.
  • Resultado: \nabla f é perpendicular ao vetor tangente \mathbf{t}, ou seja é perpendicular à circunferência de nível — encaixa com a prova geral.

Passo 5

Prova da parte (b): por que \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f.
  • Direção e derivada direcional: seja \mathbf{u} um vetor unitário ( |\mathbf{u}|=1). A derivada direcional de f na direção \mathbf{u} é, por definição para deslocamentos unitários,
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}.
Isso dá a taxa de variação de f por unidade de comprimento ao mover-se na direção \mathbf{u}.
  • Escrevendo o produto escalar em termos de norma e ângulo:
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f|\,|\mathbf{u}|\,\cos\theta = |\nabla f|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla f e \mathbf{u}, e usamos |\mathbf{u}|=1.
  • Para um dado \nabla f fixo, a quantidade \cos\theta varia entre -1 e 1. Assim:
    • O máximo possível de D_{\mathbf{u}} f ocorre quando \cos\theta=1, isto é \theta=0, ou seja quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f. O valor máximo é
    \max_{\mathbf{u}} D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|.
    • O mínimo (maior decrescimento) ocorre quando \cos\theta=-1, isto é na direção oposta a \nabla f, com valor -|\nabla f|.
  • Conclusão: a direção de \nabla f é exatamente a direção onde a derivada direcional é máxima — portanto é a direção de maior crescimento de f. A magnitude |\nabla f| dá a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (interpretação prática).
  • Voltemos a f(x,y)=x^2+y^2. No ponto (1,1),
\nabla f(1,1) = (2,2),\qquad |\nabla f(1,1)| = 2\sqrt{2}.
  • A direção de maior crescimento é o vetor (2,2) (ou o unitário correspondente (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})). A derivada direcional máxima por unidade de comprimento é 2\sqrt{2}.
  • Se eu me mover perpendicularmente (por exemplo na direção (-1,1) normalizada), a derivada direcional é zero, ou seja não há variação de f na primeira ordem — isso confirma a parte (a).

Resposta

(a) \nabla f é perpendicular à superfície de nível em \mathbf{r}, pois um deslocamento tangente d\mathbf{r} satisfaz df=0 e então 0 = df = \nabla f\cdot d\mathbf{r}, logo \nabla f\perp d\mathbf{r}.
(b) A direção de \nabla f é a direção de maior crescimento de f: para todo vetor unitário \mathbf{u} vale D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}=|\nabla f|\cos\theta, que é máximo quando \theta=0 (ou seja \mathbf{u} paralelo a \nabla f), com valor máximo |\nabla f|.

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