Considere o perfil lateral de duas superfícies infinita de carga com densidade superficial
representadas pelas linhas espessas em preto. Há dielétricos de espessura
com diferentes permissividades concatenados sobre as duas faces do plano infinito de cargas.
Calcule a densidade de fluxo elétrico
nos três materiais dielétricos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um plano infinito carregado com uma densidade superficial de carga
(em Coulombs por metro quadrado). Sobre esse plano, há três materiais dielétricos diferentes, cada um com sua própria permissividade elétrica, e todos eles têm uma espessura
. Nosso objetivo aqui é calcular a densidade de fluxo elétrico
em cada um desses materiais dielétricos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss aplicada ao campo de deslocamento elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de fluxo elétrico
. Ela está relacionada ao campo elétrico
e à permissividade do material
pela relação:
Além disso, a Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico nos diz que o fluxo total de
através de uma superfície fechada é igual à carga livre total dentro dessa superfície:
Passo 3
Como estamos lidando com um plano infinito de carga, podemos imaginar uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que se estende igualmente para os lados acima e abaixo do plano. Devido à simetria do problema, sabemos que o campo
será perpendicular ao plano e terá a mesma magnitude em cada lado.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo através da superfície gaussiana será a soma dos fluxos superiores e inferiores. Vamos chamar a área da base do cilindro de
. Então, o fluxo total é:
Esse fluxo deve ser igual à carga livre total dentro da superfície gaussiana, que é
. Portanto:
Passo 5
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados da equação:
Resolvendо para
:
Passo 6
Esse resultado nos mostra que a densidade de fluxo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os materiais dielétricos envolvidos, independentemente da sua permissividade específica. Isso acontece porque
está diretamente relacionado à carga livre presente no sistema, que é distribuída igualmente nas diferentes regiões dielétricas.
Resposta
A densidade de fluxo elétrico
em cada um dos três materiais dielétricos é dado por:
onde
é o vetor unitário perpendicular ao plano de carga.