Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que liga as capacidades térmicas a pressão e volume. A gente está no campo da termodinâmica, especificamente trabalhando com as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
). Nosso objetivo aqui é demonstrar que:
Para isso, vamos precisar entender como as capacidades térmicas se relacionam com outras propriedades termodinâmicas, como o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
) estão relacionadas pela seguinte expressão:
Aqui,
é o coeficiente de expansão térmica e
é a compressibilidade isoterma. Essas propriedades descrevem como o volume de um gás muda com temperatura e pressão.
Passo 3
Vamos definir essas propriedades:
- Coeficiente de expansão térmica (
):
Isso mede o quanto o volume muda com a temperatura a pressão constante.
- Compressibilidade isoterma (
):
Isso mede o quanto o volume muda com a pressão a temperatura constante.
Passo 4
Agora, observamos que a expressão que queremos demonstrar envolve
. Vamos relacionar isso com nosso coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma.
Sabemos que:
Isso vem da manipulação das definições de
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na equação
, temos:
Aqui, simplificamos
para
usando a relação que estabelecemos anteriormente.
Passo 6
Assumindo que
na equação original representa a compressibilidade isoterma
, então podemos reescrever a expressão final como:
Resposta
Demonstramos que: