Demonstre que:
CP=CV+T V(partial Ppartial T)V^2 kappa

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que liga as capacidades térmicas a pressão e volume. A gente está no campo da termodinâmica, especificamente trabalhando com as capacidades térmicas a pressão constante ( CP) e a volume constante ( CV). Nosso objetivo aqui é demonstrar que:
CP=CV+T V(partial Ppartial T)V^2 kappa
Para isso, vamos precisar entender como as capacidades térmicas se relacionam com outras propriedades termodinâmicas, como o coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as capacidades térmicas a pressão constante ( CP) e a volume constante ( CV) estão relacionadas pela seguinte expressão:
CP - CV = T V alpha^2betaT
Aqui, alpha é o coeficiente de expansão térmica e betaT é a compressibilidade isoterma. Essas propriedades descrevem como o volume de um gás muda com temperatura e pressão.

Passo 3

Vamos definir essas propriedades:
  • Coeficiente de expansão térmica ( alpha):
alpha = 1V ( partial Vpartial T )P
Isso mede o quanto o volume muda com a temperatura a pressão constante.
  • Compressibilidade isoterma ( betaT):
betaT = -1V ( partial Vpartial P )T
Isso mede o quanto o volume muda com a pressão a temperatura constante.

Passo 4

Agora, observamos que a expressão que queremos demonstrar envolve (partial Ppartial T)V. Vamos relacionar isso com nosso coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isoterma.
Sabemos que:
(partial Ppartial T)V = alphabetaT
Isso vem da manipulação das definições de alpha e betaT.

Passo 5

Substituindo alpha e betaT na equação CP - CV = T V alpha^2betaT, temos:
CP - CV = T V (partial Ppartial T)V^2 betaT^2betaT = T V (partial Ppartial T)V^2 betaT
Aqui, simplificamos alpha^2 / betaT para (partial Ppartial T)V^2 betaT usando a relação que estabelecemos anteriormente.

Passo 6

Assumindo que kappa na equação original representa a compressibilidade isoterma betaT, então podemos reescrever a expressão final como:
CP=CV+T V(partial Ppartial T)V^2 kappa

Resposta

Demonstramos que:
CP=CV+T V(partial Ppartial T)V^2 kappa

Exercícios relacionados