Mostre que as diferenciais dos três potenciais termodinâmicos, U, H e F podem ser escritas como:
a.
b.
c.
a.
b.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que as diferenciais dos três potenciais termodinâmicos — Energia Interna (U), Entalpia (H) e Energia Livre de Helmholtz (F) — podem ser escritas nas formas dadas. A matéria envolvida aqui é a Termodinâmica, especificamente os potenciais termodinâmicos e suas propriedades diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender das definições desses potenciais e das relações entre eles e outras propriedades termodinâmicas como capacidade térmica a pressão constante (
), volume (
), coeficiente de expansão térmica (
), compressibilidade (
), pressão (
), temperatura (
) e entropia (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na Termodinâmica, os diferentes potenciais são funções de estado diferentes que facilitam o estudo de sistemas sob diferentes condições. A diferencial de um potencial termodinâmico nos dá como pequenas mudanças nas variáveis de controle afetam o potencial. Vamos começar com o potencial Energia Interna, U.
Passo 3
A Energia Interna U é uma função de estado que geralmente depende da temperatura (T) e do volume (V). Sua diferencial pode ser expressa pela primeira lei da Termodinâmica:
Aqui, S é a entropia e P é a pressão. Mas precisamos reescrever essa expressão em termos de T e P, em vez de T e V.
Passo 4
Para isso, vamos utilizar relações de derivadas parciais e manipular a expressão para mudar as variáveis de V para P. Sabemos que:
Comparando com a expressão anterior, identificamos:
onde
é a capacidade térmica a volume constante.
Passo 5
Além disso, usamos a relação termodinâmica para transformar a diferencial de V em função de P:
Aqui,
pode ser relacionado à compressibilidade (
) e
ao coeficiente de expansão térmica (
).
Passo 6
Aplicando essas relações na expressão de
, temos:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para chegar na expressão fornecida no enunciado, precisamos ajustar os coeficientes. Sabemos que:
Com isso, podemos reescrever a expressão de
de forma a incluir
e outras variáveis, resultando na forma desejada:
Passo 8
Repetimos um procedimento semelhante para a Entalpia H, que é definida por
. Calculando sua diferencial:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Novamente, substituindo
em termos de
e
e simplificando, chegamos à forma:
Passo 9
Por fim, para a Energia Livre de Helmholtz F, que é definida por
. Calculando sua diferencial:
Utilizando as expressões já obtidas e fazendo as substituições necessárias, chegamos à forma:
Resposta
As diferenciais dos potenciais termodinâmicos são:
a.
b.
c.