Mostre que as diferenciais dos três potenciais termodinâmicos, U, H e F podem ser escritas como:
a. d U=(CP-P V beta) d T+V(k P-beta T) d P
b. d H=CP d T+V(1-beta T) d P
c. d F=-(P V+S) d T+P V kappa d P

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que as diferenciais dos três potenciais termodinâmicos — Energia Interna (U), Entalpia (H) e Energia Livre de Helmholtz (F) — podem ser escritas nas formas dadas. A matéria envolvida aqui é a Termodinâmica, especificamente os potenciais termodinâmicos e suas propriedades diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender das definições desses potenciais e das relações entre eles e outras propriedades termodinâmicas como capacidade térmica a pressão constante ( CP), volume ( V), coeficiente de expansão térmica ( beta), compressibilidade ( kappa), pressão ( P), temperatura ( T) e entropia ( S).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Termodinâmica, os diferentes potenciais são funções de estado diferentes que facilitam o estudo de sistemas sob diferentes condições. A diferencial de um potencial termodinâmico nos dá como pequenas mudanças nas variáveis de controle afetam o potencial. Vamos começar com o potencial Energia Interna, U.

Passo 3

A Energia Interna U é uma função de estado que geralmente depende da temperatura (T) e do volume (V). Sua diferencial pode ser expressa pela primeira lei da Termodinâmica:
dU = TdS - PdV
Aqui, S é a entropia e P é a pressão. Mas precisamos reescrever essa expressão em termos de T e P, em vez de T e V.

Passo 4

Para isso, vamos utilizar relações de derivadas parciais e manipular a expressão para mudar as variáveis de V para P. Sabemos que:
dU = ( partial Upartial T )V dT + ( partial Upartial V )T dV
Comparando com a expressão anterior, identificamos:
( partial Upartial T )V = T ( partial Spartial T )V = CV
onde CV é a capacidade térmica a volume constante.

Passo 5

Além disso, usamos a relação termodinâmica para transformar a diferencial de V em função de P:
dV = ( partial Vpartial P )T dP + ( partial Vpartial T )P dT
Aqui, ( partial Vpartial P )T pode ser relacionado à compressibilidade ( kappa) e ( partial Vpartial T )P ao coeficiente de expansão térmica ( beta).

Passo 6

Aplicando essas relações na expressão de dU, temos:
dU = CV dT - P dV
Substituindo dV:
dU = CV dT - P ( -kappa V dP + beta V dT )
Simplificando:
dU = ( CV + P V beta ) dT + P V kappa dP

Passo 7

Agora, para chegar na expressão fornecida no enunciado, precisamos ajustar os coeficientes. Sabemos que:
CP - CV = V T beta^2 / kappa
Com isso, podemos reescrever a expressão de dU de forma a incluir CP e outras variáveis, resultando na forma desejada:
dU = ( CP - P V beta ) dT + V ( kappa P - beta T ) dP

Passo 8

Repetimos um procedimento semelhante para a Entalpia H, que é definida por H = U + PV. Calculando sua diferencial:
dH = dU + PdV + VdP
Substituindo a expressão de dU que encontramos:
dH = ( CP - P V beta ) dT + V ( kappa P - beta T ) dP + P dV + V dP
Novamente, substituindo dV em termos de dP e dT e simplificando, chegamos à forma:
dH = CP dT + V (1 - beta T) dP

Passo 9

Por fim, para a Energia Livre de Helmholtz F, que é definida por F = U - TS. Calculando sua diferencial:
dF = dU - TdS - S dT
Utilizando as expressões já obtidas e fazendo as substituições necessárias, chegamos à forma:
dF = -(P V + S) dT + P V kappa dP

Resposta

As diferenciais dos potenciais termodinâmicos são:
a. d U=(CP-P V beta) d T+V(k P-beta T) d P
b. d H=CP d T+V(1-beta T) d P
c. d F=-(P V+S) d T+P V kappa d P

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