Considere a permutação dada por
(a) Encontre os ciclos da permutação.
(b) Qual a paridade da permutação?
(b) Qual a paridade da permutação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre permutações! A gente tem uma permutação específica dada por uma tabela, e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar os ciclos dessa permutação.
b) Descobrir se a permutação é par ou ímpar, ou seja, sua paridade.
b) Descobrir se a permutação é par ou ímpar, ou seja, sua paridade.
Pra isso, vamos usar a notação de ciclos e entender como calcular a paridade a partir dos ciclos. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma permutação. Basicamente, é uma reorganização dos elementos de um conjunto. No nosso caso, temos os números de 1 a 8 sendo rearranjados de acordo com a tabela fornecida.
A tabela é assim:
Isso significa que:
- 1 vai para 2
- 2 vai para 4
- 4 vai para 1
- 3 vai para 3 (fica no lugar)
- 5 vai para 8
- 8 vai para 6
- 6 vai para 7
- 7 vai para 5
Passo 3
Agora, vamos encontrar os ciclos dessa permutação. Um ciclo mostra como os elementos se reencadeiam. Vamos começar com o número 1:
1 → 2 → 4 → 1
Então, temos um ciclo: (1 2 4)
Vamos ver o que acontece com o próximo número que ainda não está no ciclo, que é o 3:
3 → 3
Como 3 não muda, ele forma um ciclo sozinho: (3)
Agora, vamos para o próximo número disponível, que é o 5:
5 → 8 → 6 → 7 → 5
Então, temos outro ciclo: (5 8 6 7)
Passo 4
Resumindo os ciclos encontrados:
Normalmente, não escrevemos os ciclos que têm apenas um elemento, então podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, vamos determinar a paridade da permutação. A paridade indica se a permutação é par ou ímpar, o que está relacionado ao número de trocas (transposições) necessárias para obtê-la.
A regra é: uma permutação é par se a soma dos comprimentos dos ciclos menos o número de ciclos for par, e ímpar caso contrário.
Vamos calcular:
- O ciclo (1 2 4) tem comprimento 3.
- O ciclo (5 8 6 7) tem comprimento 4.
Número total de ciclos = 2.
Então, a soma dos comprimentos é 3 + 4 = 7.
Agora, 7 - 2 = 5, que é ímpar.
Resposta
a) Os ciclos da permutação são (1 2 4) e (5 8 6 7).
b) A permutação é ímpar.