Considere a permutação dada por
sigma=(cccccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 2 & 4 & 3 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6 )
(a) Encontre os ciclos da permutação.
(b) Qual a paridade da permutação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre permutações! A gente tem uma permutação específica dada por uma tabela, e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar os ciclos dessa permutação.
b) Descobrir se a permutação é par ou ímpar, ou seja, sua paridade.
Pra isso, vamos usar a notação de ciclos e entender como calcular a paridade a partir dos ciclos. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma permutação. Basicamente, é uma reorganização dos elementos de um conjunto. No nosso caso, temos os números de 1 a 8 sendo rearranjados de acordo com a tabela fornecida.
A tabela é assim:
sigma = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 2 & 4 & 3 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6
Isso significa que:
  • 1 vai para 2
  • 2 vai para 4
  • 4 vai para 1
  • 3 vai para 3 (fica no lugar)
  • 5 vai para 8
  • 8 vai para 6
  • 6 vai para 7
  • 7 vai para 5

Passo 3

Agora, vamos encontrar os ciclos dessa permutação. Um ciclo mostra como os elementos se reencadeiam. Vamos começar com o número 1:
1 → 2 → 4 → 1
Então, temos um ciclo: (1 2 4)
Vamos ver o que acontece com o próximo número que ainda não está no ciclo, que é o 3:
3 → 3
Como 3 não muda, ele forma um ciclo sozinho: (3)
Agora, vamos para o próximo número disponível, que é o 5:
5 → 8 → 6 → 7 → 5
Então, temos outro ciclo: (5 8 6 7)

Passo 4

Resumindo os ciclos encontrados:
sigma = (1 2 4)(3)(5 8 6 7)
Normalmente, não escrevemos os ciclos que têm apenas um elemento, então podemos simplificar para:
sigma = (1 2 4)(5 8 6 7)

Passo 5

Agora, vamos determinar a paridade da permutação. A paridade indica se a permutação é par ou ímpar, o que está relacionado ao número de trocas (transposições) necessárias para obtê-la.
A regra é: uma permutação é par se a soma dos comprimentos dos ciclos menos o número de ciclos for par, e ímpar caso contrário.
Vamos calcular:
  • O ciclo (1 2 4) tem comprimento 3.
  • O ciclo (5 8 6 7) tem comprimento 4.
Número total de ciclos = 2.
Então, a soma dos comprimentos é 3 + 4 = 7.
Agora, 7 - 2 = 5, que é ímpar.

Resposta

a) Os ciclos da permutação são (1 2 4) e (5 8 6 7).
b) A permutação é ímpar.

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