Resolva em
(grupo diedral do triângulo equilátero), a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no grupo dihedral
, que é o grupo das simetrias de um triângulo equilátero. Isso envolve entender um pouquinho de teoria de grupos, especificamente sobre os elementos que compõem
e como eles se comportam quando elevados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o grupo dihedral
. Ele representa todas as simetrias de um triângulo equilátero, ou seja, as rotações e reflexões que deixam o triângulo com a mesma aparência. Os elementos de
são:
-
: a identidade (não faz nada), -
: rotação de 120 graus, -
: rotação de 240 graus, -
: reflexão em um eixo, -
: reflexão seguida de rotação, -
: reflexão seguida de duas rotações.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todos os elementos
em
que, quando elevados ao quadrado, resultam na identidade
. Ou seja,
.
Vamos calcular o quadrado de cada elemento:
- Identidade
:
- Rotação
:
- Rotação
:
- Reflexão
:
- Reflexão seguida de rotação
:
(Na verdade, houve um erro aqui! Vamos refazer esse cálculo corretamente:)
Sabemos que
, então:
- Reflexão seguida de duas rotações
:
Usando a mesma lógica:
Então:
Resposta
Os elementos de
que satisfazem
são: