Resolva em D3 (grupo diedral do triângulo equilátero), a equação x^2=e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação x^2 = e no grupo dihedral D3 , que é o grupo das simetrias de um triângulo equilátero. Isso envolve entender um pouquinho de teoria de grupos, especificamente sobre os elementos que compõem D3 e como eles se comportam quando elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o grupo dihedral D3 . Ele representa todas as simetrias de um triângulo equilátero, ou seja, as rotações e reflexões que deixam o triângulo com a mesma aparência. Os elementos de D3 são:
  • e : a identidade (não faz nada),
  • r : rotação de 120 graus,
  • r^2 : rotação de 240 graus,
  • s : reflexão em um eixo,
  • sr : reflexão seguida de rotação,
  • sr^2 : reflexão seguida de duas rotações.

Passo 3

Agora, queremos encontrar todos os elementos x em D3 que, quando elevados ao quadrado, resultam na identidade e . Ou seja, x^2 = e .
Vamos calcular o quadrado de cada elemento:
  1. Identidade e :
e^2 = e
  1. Rotação r :
r^2 = r^2 neq e
  1. Rotação r^2 :
(r^2)^2 = r^4 = r^1 neq e (já que r^3 = e) á
  1. Reflexão s :
s^2 = e
  1. Reflexão seguida de rotação sr :
(sr)^2 = sr cdot sr = s cdot r cdot s cdot r = s^2 cdot r^2 = e cdot r^2 = r^2 neq e
(Na verdade, houve um erro aqui! Vamos refazer esse cálculo corretamente:)
(sr)^2 = sr cdot sr = s cdot r cdot s cdot r
Sabemos que s cdot r cdot s = r^-1 = r^2 , então:
s cdot r cdot s cdot r = r^2 cdot r = r^3 = e
  1. Reflexão seguida de duas rotações sr^2 :
(sr^2)^2 = sr^2 cdot sr^2 = s cdot r^2 cdot s cdot r^2
Usando a mesma lógica:
s cdot r^2 cdot s = r^-2 = r
Então:
s cdot r^2 cdot s cdot r^2 = r cdot r^2 = r^3 = e

Resposta

Os elementos de D3 que satisfazem x^2 = e são:
, e, s, sr, sr^2 ,

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