Considere que um pincel de luz monocromática, primeiramente propagando-se no vácuo, incide sobre um sistema ótico de tal forma que haja 20 dioptros e que o índice de refração varie conforme a expressão:
ni=n vácuo +i8 á
se o raio incidente possui um ângulo theta1 em relação à normal, qual seria o ângulo quando o raio emerge do sistema e volta a se propagar no ar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um feixe de luz monocromática vem do vácuo (índice ni = nvácuo + i8, i=1,2,dots,20 á), passa por um “sistema” que tem potência total de 20 dioptrias (ou seja, efetivamente são 20 superfícies de refração), e em cada interface o índice de refração é dado por
á
A pergunta é: se o raio entra com um ângulo em relação à normal (no primeiro meio, o vácuo), qual é o ângulo dele quando sai de volta para o ar (vácuo)?
Conteúdo: Lei de Snell e manipulação de produtos de razão de índices.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Snell para cada interface ni,sinthetai ;=; ni+1,sinthetai+1 :
Aqui começamos em (vácuo, ) e vamos até , depois saímos de de volta para o vácuo ( ).

Passo 3

Queremos relacionar sintheta2 = n1n2,sintheta1, sintheta3 = n2n3,sintheta2, dots, sintheta21 = n20n21,sintheta20 (ângulo final no ar) com . Pela Lei de Snell em cada salto:

Passo 4

Multiplicando todas essas relações de sintheta21 = n20n21;n19n20;cdots;n1n2;n0n1;sintheta1 = n0n21;sintheta1 até sintheta21 = 1cdotsintheta1 = sintheta1 , temos um produto telescópico:
Mas (os dois são vácuo/ar), então

Resposta

O raio emerge com o mesmo ângulo que entrou, ou seja
boxedthetafinal = theta1

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