Considere uma placa de espessura L e condutividade térmica constante k, na qual é gerada energia a uma taxa constante g_{o}\left(\mathrm{w} / \mathrm{m}^{3}\right). A superfície em \mathrm{x}=0 é isolada(adiabática) e a superfície em \mathrm{x}=\mathrm{L} dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura T_{\infty}. Desenvolva expressões da temperatura T(x) e do fluxo do calor q(x) na placa. Calcule as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições. \mathrm{L}=1 \mathrm{~cm}, K=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{g}_{0}=8 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, h=4000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\infty}=100^{\circ} \mathrm{C}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
Encontrar a expressão da temperatura \,T(x)\, ao longo da placa e a expressão do fluxo de calor \,q(x)\,.
Com esses resultados, calcular numericamente as temperaturas nas superfícies \,x=0\, e \,x=L\, para os dados fornecidos.
Superfície em \,x=0\, é isolada (adiabática): não há fluxo de calor através de \,x=0.
Superfície em \,x=L\, troca calor por convecção com coeficiente \,h\, para o fluido à temperatura \,T_{\infty}.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial que descreve o equilíbrio térmico unidimensional, estado estacionário, com geração volumétrica constante \,g_{0}\,. A equação de conservação de energia (forma diferencial) é
Explicação didática: essa equação diz que a curvatura da temperatura (segunda derivada) é proporcional à geração interna. Se houver geração positiva, a curva de temperatura é côncava, formando um perfil quadrático.
Passo 3
Integramos a equação diferencial duas vezes para obter a solução geral. Integrando a segunda derivada:
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{k}\,x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Integramos novamente:
T(x)=-\frac{g_{0}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicamos a condição em \,x=0\, (adiabática). Adiabática significa fluxo de calor nulo em x=0. Pelo lei de Fourier:
Interpretação física: todo o calor gerado ao longo da placa tem que ser evacuado pela face convectiva; o fluxo naquela face é simplesmente g_{0}L (unidade W/m^2), e a diferença de temperatura necessária para fornecer esse fluxo por convecção é \frac{g_{0}L}{h}.
Passo 6
Usamos o valor de T(L) para encontrar C_{2}. Pela solução geral:
Essa é a expressão pedida para a temperatura. Observação: a contribuição \frac{g_{0}L}{h} vem da resistência convectiva na face x=L e a parcela \frac{g_{0}}{2k}(L^{2}-x^{2}) é o perfil parabólico causado pela geração dentro da placa.
Passo 7
Agora encontramos o fluxo de calor \,q(x)\,. Pela lei de Fourier:
q(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Da expressão de \frac{dT}{dx} (com C_{1}=0):
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{k}x.
Logo
q(x)=-k\left(-\frac{g_{0}}{k}x\right)=g_{0}x.
Interpretação física simples: o fluxo cresce linearmente com x porque, ao avançar para a face \,x=L\,, acumulamos mais geração interna por unidade de área que precisa ser transportada até a superfície.
Passo 8
Calculamos numericamente \,T(L)\, e \,T(0)\, usando os valores dados.