Questão 11
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura em uma parede plana na qual as fontes de calor distribuídas variam de acordo com a relação linear.
onde
é uma constante e igual ao calor gerado por unidade de volume na parede à temperatura da parede de
. Ambos os lados da parede são mantidos a
, e a espessura da placa é
. Considere
um parâmetro constante.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura em uma parede plana na qual as fontes de calor distribuídas variam de acordo com a relação linear.
Passo 1
O enunciado pede para achar a distribuição de temperatura numa placa plana de espessura
(ou seja,
), onde o calor gerado por unidade de volume varia linearmente com a temperatura segundo
sendo
a geração volumétrica quando a temperatura local é
. Ambas as faces da placa (em
) são mantidas à temperatura
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
espessura total
, temperaturas de contorno
.
Vou assumir conduta usual: regime estacionário unidimensional e condutividade térmica constante (se o problema não dá
, é padrão introduzi-la para relacionar fluxo e gradiente). A tarefa é encontrar
para
.
Vou assumir conduta usual: regime estacionário unidimensional e condutividade térmica constante
Passo 2
Escrevendo a equação de balanço de energia para condução unidimensional no regime estacionário com geração volumétrica:
onde
é a condutividade térmica (unidade: W/m·K). Substituindo a expressão dada para
:
Agora vou manipular essa equação para colocá‑la em forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Expandindo:
Defino para simplificar:
A equação fica
Passo 3
Resolvendo a EDO. Esta é uma EDO linear não homogênea com coeficientes constantes. Método padrão: achar uma solução particular
(constantemente) e a solução geral da homogênea.
- Solução particular constante: suponho
constante. Substituindo em , obtemos
Voltando às definições de
e
:
(Observação: isso é válido se
. O caso
será tratado depois.)
- Equação homogênea associada:
Se
(isto é,
), defino
e a solução homogênea é
Se
(
se
), escrevo
com
; então
Esses dois casos são análogos (seno/cosseno versus seno hiperbólico/cosseno hiperbólico).
Portanto a solução geral é a soma:
Passo 4
Impondo a simetria e as condições de contorno. A geração e as condições são simétricas em
, então a solução física será par (simétrica); isto implica
e, portanto, a componente ímpar da homogênea deve sumir. Consequentemente:
- Para o caso
: e . - Para o caso
: e .
Agora aplico as condições de contorno
. Como solução é par, basta aplicar em
.
Caso
(
supondo
):
Isolando
:
Mas
. Então
Atenção: essa expressão para
vale somente se
. Porém no cálculo anterior eu precisei levar em conta a \emph{equação} correta:
corrigindo o passo: a equação correta é
corrigindo o passo: a equação correta é
Portanto a solução final para
é
Substituindo
,
Caso
(
supondo
): defina
. Pela mesma lógica:
com
Logo
Passo 5
Verificações e o caso
:
- Caso
(ou seja, geração independente de ): a expressão em série de com dá, no limite , a clássica solução polinomial
que é o resultado esperado para geração volumétrica constante
. Aqui pode-se verificar tomando limite usando expansão de Taylor (mostrei a consistência).
- Observação sobre sinais e singularidades: a solução com termo
exige cuidado se for muito pequena numericamente; o limite é regular e dá a fórmula polinomial acima. Se tem sinal negativo, usamos a forma com . As fórmulas acima são as soluções gerais e satisfazem e a EDO original.