Considere uma placa de espessura L e condutividade térmica constante k, na qual é gerada energia a uma taxa constante g_{o}\left(\mathrm{w} / \mathrm{m}^{3}\right). A superfície em \mathrm{x}=0 é isolada(adiabática) e a superfície em \mathrm{x}=\mathrm{L} dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura T_{\infty}. Desenvolva expressões da temperatura T(x) e do fluxo do calor q(x) na placa. Calcule as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições.
\mathrm{L}=1 \mathrm{~cm}, K=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{g}_{0}=8 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, h=4000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\infty}=100^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Encontrar a expressão da temperatura \,T(x)\, ao longo da placa e a expressão do fluxo de calor \,q(x)\,.
  2. Com esses resultados, calcular numericamente as temperaturas nas superfícies \,x=0\, e \,x=L\, para os dados fornecidos.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
L=0,01\\ \text{m},\qquad k=20\\ \text{W}/(\text{m}\cdot{}^\circ\text{C}),\qquad g_{0}=8{,}0\times 10^{3}\\ \text{W}/\text{m}^{3},
h=4{,}0\times 10^{3}\\ \text{W}/(\text{m}^{2}\cdot{}^\circ\text{C}),\qquad T_{\infty}=100^\circ\text{C}.
Condições de contorno (do enunciado):
  • Superfície em \,x=0\, é isolada (adiabática): não há fluxo de calor através de \,x=0.
  • Superfície em \,x=L\, troca calor por convecção com coeficiente \,h\, para o fluido à temperatura \,T_{\infty}.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial que descreve o equilíbrio térmico unidimensional, estado estacionário, com geração volumétrica constante \,g_{0}\,. A equação de conservação de energia (forma diferencial) é
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+g_{0}=0.
Como k é constante, isso simplifica para
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+g_{0}=0,
ou equivalentemente
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{g_{0}}{k}.
Explicação didática: essa equação diz que a curvatura da temperatura (segunda derivada) é proporcional à geração interna. Se houver geração positiva, a curva de temperatura é côncava, formando um perfil quadrático.

Passo 3

Integramos a equação diferencial duas vezes para obter a solução geral. Integrando a segunda derivada:
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{k}\,x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Integramos novamente:
T(x)=-\frac{g_{0}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos a condição em \,x=0\, (adiabática). Adiabática significa fluxo de calor nulo em x=0. Pelo lei de Fourier:
q(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Logo, em x=0,
q(0)=-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}=0.
Substituindo a expressão de \frac{dT}{dx}:
-k\left(-\frac{g_{0}}{k}\cdot 0 + C_{1}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad -k C_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0.
Comentário: isso também poderia ser visto diretamente pela condição \frac{dT}{dx}(0)=0.

Passo 5

Com C_{1}=0 a solução fica
T(x)=-\frac{g_{0}}{2k}\,x^{2}+C_{2}.
Agora aplicamos a condição convectiva em \,x=L\,. A condição é que o fluxo conduzido no contorno iguala o fluxo convectivo:
q(L)=-k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Calculamos \frac{dT}{dx} com C_{1}=0:
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{k}x \quad\Rightarrow\quad -k\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L}= -k\left(-\frac{g_{0}}{k}L\right)=g_{0}L.
Portanto a condição convectiva torna-se
g_{0}L = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Resolvendo para T(L):
T(L)=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}.
Interpretação física: todo o calor gerado ao longo da placa tem que ser evacuado pela face convectiva; o fluxo naquela face é simplesmente g_{0}L (unidade W/m^2), e a diferença de temperatura necessária para fornecer esse fluxo por convecção é \frac{g_{0}L}{h}.

Passo 6

Usamos o valor de T(L) para encontrar C_{2}. Pela solução geral:
T(L)=-\frac{g_{0}}{2k}L^{2}+C_{2}=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}.
Então
C_{2}=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2k}L^{2}.
Substituindo C_{2} na expressão de T(x) obtemos a solução final:
T(x)=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2k}\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr).
Essa é a expressão pedida para a temperatura. Observação: a contribuição \frac{g_{0}L}{h} vem da resistência convectiva na face x=L e a parcela \frac{g_{0}}{2k}(L^{2}-x^{2}) é o perfil parabólico causado pela geração dentro da placa.

Passo 7

Agora encontramos o fluxo de calor \,q(x)\,. Pela lei de Fourier:
q(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Da expressão de \frac{dT}{dx} (com C_{1}=0):
\frac{dT}{dx}=-\frac{g_{0}}{k}x.
Logo
q(x)=-k\left(-\frac{g_{0}}{k}x\right)=g_{0}x.
Interpretação física simples: o fluxo cresce linearmente com x porque, ao avançar para a face \,x=L\,, acumulamos mais geração interna por unidade de área que precisa ser transportada até a superfície.

Passo 8

Calculamos numericamente \,T(L)\, e \,T(0)\, usando os valores dados.
Primeiro calculemos
\frac{g_{0}L}{h}=\frac{8{,}0\times 10^{3}\cdot 0{,}01}{4{,}0\times 10^{3}} =\frac{80}{4000}=0{,}02\\ ^\circ\text{C}.
Em seguida
\frac{g_{0}}{2k}L^{2}=\frac{8{,}0\times 10^{3}}{2\cdot 20}\cdot (0{,}01)^{2} =\frac{8000}{40}\cdot 0{,}0001=200\cdot 0{,}0001=0{,}02\\ ^\circ\text{C}.
Agora:
T(L)=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}=100^\circ\text{C}+0{,}02^\circ\text{C}=100{,}02^\circ\text{C},
T(0)=T_{\infty}+\frac{g_{0}L}{h}+\frac{g_{0}}{2k}L^{2} =100^\circ\text{C}+0{,}02^\circ\text{C}+0{,}02^\circ\text{C}=100{,}04^\circ\text{C}.
Checagens rápidas: q(0)=g_{0}\cdot 0=0 (adiabática) e q(L)=g_{0}L=8{,}0\times 10^{3}\cdot 0{,}01=80\\ \text{W}/\text{m}^{2}, que coincide com h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr)=4000\cdot 0{,}02=80\\ \text{W}/\text{m}^{2}.

Resposta

T(x)=T_{\infty}+\dfrac{g_{0}L}{h}+\dfrac{g_{0}}{2k}\bigl(L^{2}-x^{2}\bigr)\n
q(x)=g_{0}x\n
T(0)=100{,}04^\circ\text{C}\n
T(L)=100{,}02^\circ\text{C}

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