Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial com os seguintes dados: a) diâmetro de entrada D4 = 3,4 m, b) diâmetro de saída D5 = 1,2 m, c) largura na entrada b4 = 0,25 m, d) largura na saída b5 =0,75 \mathrm{~m}, e) vazão =12,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{f} ) rotação \mathrm{n}=150 RPM, g) ângulo construtivo na entrada \beta 4=85^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial” dadas as seguintes informações:
  • diâmetro de entrada \,D_{4}=3{,}4\\ \mathrm{m},
  • diâmetro de saída \,D_{5}=1{,}2\\ \mathrm{m},
  • largura na entrada \,b_{4}=0{,}25\\ \mathrm{m},
  • largura na saída \,b_{5}=0{,}75\\ \mathrm{m},
  • vazão volumétrica \,Q=12{,}5\\ \mathrm{m^{3}/s},
  • rotação \,n=150\\ \mathrm{RPM},
  • ângulo construtivo na entrada \,\beta_{4}=85^\circ.
Informações relevantes extraídas do enunciado (lista clara):
  • Raios: \,r_{4}=D_{4}/2 e \,r_{5}=D_{5}/2.
  • Área de escoamento em seção radial: \,A=2\pi r b (passagem ao redor de todo o anel).
  • Velocidade meridional (radial) \,V_{r}=Q/A (continuidade).
  • Velocidade tangencial do anel (ou velocidade periférica das pás): \,U=\omega r com \,\omega=2\pi n/60.
  • Relações vetoriais dos triângulos: a velocidade relativa \,W tem componentes \,W_{r}=V_{r} (mesma componente radial) e \,W_{u}=V_{u}-U. Se \,\beta é o ângulo entre \,W e a direção tangencial (convencionalmente usado em turbomacinas), então W_{r}=W\sin\beta,\qquad W_{u}=W\cos\beta.
  • Dados insuficientes: o enunciado fornece \,\beta_{4} mas não fornece \,\beta_{5} nem outra condição extra. Vou escolher uma hipótese de saída e explicarei e justificarei no decorrer da resolução.

Passo 2

Cálculo das grandezas geométricas e da velocidade meridional (radial) em cada seção.
  1. Calcule os raios:
r_{4}=\frac{D_{4}}{2}=\frac{3{,}4}{2}=1{,}70\\ \mathrm{m}, \qquad r_{5}=\frac{D_{5}}{2}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}60\\ \mathrm{m}.
  1. Área de escoamento (anular) em cada raio: usamos a fórmula da área atravessada no escoamento radial assumindo escoamento uniforme ao longo da circunferência:
A = 2\pi r b.
Então
A_{4}=2\pi r_{4} b_{4}=2\pi(1{,}70)(0{,}25)=2{,}6703538\\ \mathrm{m^{2}},
A_{5}=2\pi r_{5} b_{5}=2\pi(0{,}60)(0{,}75)=2{,}8274334\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Velocidade meridional (radial) por continuidade \,Q=A V_{r}\Rightarrow V_{r}=Q/A:
V_{r4}=\frac{Q}{A_{4}}=\frac{12{,}5}{2{,}6703538}=4{,}680795\\ \mathrm{m/s},
V_{r5}=\frac{Q}{A_{5}}=\frac{12{,}5}{2{,}8274334}=4{,}421001\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático rápido: a ideia é que a mesma vazão atravessa a seção circular total, por isso quanto maior a área menor a velocidade radial, e vice-versa.

Passo 3

Cálculo da velocidade periférica (tangencial) das pás em cada seção.
  1. Primeiro obtenha a velocidade angular:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi(150)}{60}=5\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 15{,}7079633\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Velocidade periférica \,U=\omega r:
U_{4}=\omega r_{4}=(5\pi)(1{,}70)=8{,}5\pi\approx 26{,}703538\\ \mathrm{m/s},
U_{5}=\omega r_{5}=(5\pi)(0{,}60)=3\pi\approx 9{,}42477796\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: a pá que roda descreve movimento circular; sua velocidade tangencial cresce linearmente com o raio.

Passo 4

Triângulo de velocidade na entrada (estação 4). Vamos montar o triângulo usando a informação de \,\beta_{4}=85^\circ.
Lembrando as relações (didático):
  • \beta é o ângulo entre a velocidade relativa \,W e a direção tangencial (convencionalmente tomado do sentido tangencial até \,W). Para \beta muito próximo de 90^\circ o escoamento relativo é praticamente radial.
  • Componentes de W: W_{r}=W\sin\beta,\qquad W_{u}=W\cos\beta.
  • Como W_{r}=V_{r}, conseguimos W por W=\frac{W_{r}}{\sin\beta}=\frac{V_{r}}{\sin\beta}.
  • A componente tangencial absoluta é V_{u}=W_{u}+U.
  • A velocidade absoluta total V=\sqrt{V_{r}^{2}+V_{u}^{2}}.
  • O ângulo absoluto \alpha (entre V e a direção tangencial) é \alpha=\arctan\!\left(\frac{V_{r}}{V_{u}}\right).
Agora plugando números (use trigonometria com \beta_{4}=85^\circ):
\sin85^\circ=0{,}9961947,\qquad \cos85^\circ=0{,}0871557.
  1. módulo da velocidade relativa na entrada:
W_{4}=\frac{V_{r4}}{\sin85^\circ}=\frac{4{,}680795}{0{,}9961947}=4{,}699735\\ \mathrm{m/s}.
  1. componente tangencial de W (relativo):
W_{u4}=W_{4}\cos85^\circ=4{,}699735\times 0{,}0871557=0{,}409656\\ \mathrm{m/s}.
  1. componente tangencial absoluta:
V_{u4}=W_{u4}+U_{4}=0{,}409656+26{,}703538=27{,}113194\\ \mathrm{m/s}.
  1. magnitude da velocidade absoluta na entrada:
V_{4}=\sqrt{V_{r4}^{2}+V_{u4}^{2}}=\sqrt{4{,}680795^{2}+27{,}113194^{2}}\approx 27{,}5169\\ \mathrm{m/s}.
  1. ângulo absoluto \alpha_{4}:
\alpha_{4}=\arctan\!\left(\frac{V_{r4}}{V_{u4}}\right)=\arctan\!\left(\frac{4{,}680795}{27{,}113194}\right)\approx 9{,}806^\circ.
Breve interpretação: como \beta_{4}=85^\circ (quase radial), a componente tangencial relativa é muito pequena ( \approx0{,}41\\ \mathrm{m/s}), por isso a componente tangencial absoluta é dominada por U_{4}. O ângulo absoluto \alpha_{4} é pequeno (fluxo quase tangencialmente paralelo à pá).

Passo 5

Escolha e justificativa da hipótese para a saída (estação 5) e montagem do triângulo de velocidade na saída.
Motivação/justificativa: o enunciado não fornece \beta_{5} nem condição extra (por exemplo, V_{u5}=0). Em exercícios de turbinas radiais é comum assumir que as pás na saída são projetadas para descarga radial (isto é, as pás são praticamente radiais na saída), o que implica que a velocidade relativa sai radialmente em relação à pá — isto significa \beta_{5}=90^\circ. Esta hipótese é a mais simples e normalmente adotada quando a questão não dá outro dado construtivo de saída. Vou então assumir
\beta_{5}=90^\circ \quad(\text{saída relativa radial}).í
Essa hipótese implica:
W_{u5}=W_{5}\cos90^\circ=0, \qquad W_{r5}=V_{r5}=W_{5}.
Logo
V_{u5}=W_{u5}+U_{5}=0+U_{5}=U_{5}.
Agora os cálculos numéricos:
  1. W_{5}=V_{r5}/\sin90^\circ=V_{r5}=4{,}421001\\ \mathrm{m/s}.
  2. componente tangencial absoluta:
V_{u5}=U_{5}=9{,}42477796\\ \mathrm{m/s}.
  1. magnitude da velocidade absoluta na saída:
V_{5}=\sqrt{V_{r5}^{2}+V_{u5}^{2}}=\sqrt{4{,}421001^{2}+9{,}42477796^{2}}\approx 10{,}4075\\ \mathrm{m/s}.
  1. ângulo absoluto \alpha_{5}:
\alpha_{5}=\arctan\!\left(\frac{V_{r5}}{V_{u5}}\right)=\arctan\!\left(\frac{4{,}421001}{9{,}42477796}\right)\approx 25{,}136^\circ.
Comentário: com essa hipótese de saída radial relativa, há um giro absoluto do escoamento na saída (isto é, V_{u5}=U_{5} não nulo). Em outros contextos se exigisse V_{u5}=0 (saída sem giro absoluto) os ângulos relativos seriam diferentes; como não foi dado, a escolha de \beta_{5}=90^\circ é adequada e simples para montar o triângulo.

Resposta

Entrada (estação 4): \;V_{r4}=4{,}680795\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;U_{4}=26{,}703538\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;W_{4}=4{,}699735\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;W_{u4}=0{,}409656\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;V_{u4}=27{,}113194\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;V_{4}=27{,}5169\\ \mathrm{m/s}
Entrada (estação 4): \;\beta_{4}=85^\circ
Entrada (estação 4): \;\alpha_{4}=9{,}806^\circ
Saída (estação 5) — hipótese adotada: \beta_{5}=90^\circ (saída relativa radial): \;V_{r5}=4{,}421001\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;U_{5}=9{,}42477796\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;W_{5}=4{,}421001\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;W_{u5}=0\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;V_{u5}=9{,}42477796\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;V_{5}=10{,}4075\\ \mathrm{m/s}
Saída (estação 5): \;\beta_{5}=90^\circ (assumido)
Saída (estação 5): \;\alpha_{5}=25{,}136^\circ

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