Considere uma placa metálica onde a temperatura próxima a um ponto de solda defeituoso na origem é modelada por:
T(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Calcule o limite de T ao longo de dois caminhos distintos.
b) Usando a definição formal de limite, verifique se T é contínua em (0,0).
c) Determine as derivadas parciais de T em (0,0).
d) As derivadas direcionais \frac{\partial T}{\partial v}(0,0) existem para todo vetor v=(a, b) \neq(0,0) ?
e) Verifique se T é diferenciável em (0,0). Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece a função temperatura definida por
As perguntas são:
a) Calcular o limite de T ao longo de dois caminhos distintos que vão a (0,0).
b) Usando a definição formal de limite, verificar se T é contínua em (0,0).
c) Determinar as derivadas parciais de T em (0,0).
d) Verificar se as derivadas direcionais \frac{\partial T}{\partial v}(0,0) existem para todo vetor v=(a,b)\neq(0,0).
e) Verificar se T é diferenciável em (0,0) e justificar.
Informações relevantes dadas: a expressão de T(x,y) para (x,y)\neq(0,0) e o valor T(0,0)=0. A resolução começará agora.]
Passo 2
Vou calcular o limite de T ao longo do caminho y=0 (o eixo x). Substituo y=0 na fórmula para (x,y)\neq(0,0):
T(x,0)=\frac{x\cdot 0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=0.
Ao aproximarmos (x,0) de (0,0) (isto é, x\to0), o valor de T(x,0) permanece 0. Logo o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,0)\to(0,0)} T(x,0)=0.
Passo 3
Agora calculo o limite ao longo de um caminho não linear, por exemplo x=y^{2}. Substituo x=y^{2} com y\to0:
Quando y\to0 isto tende a 0. Portanto o limite ao longo do caminho x=y^{2} é
\lim_{y\to0} T(y^{2},y)=0.
Passo 4
Observação didática sobre caminhos: vimos dois caminhos distintos (o eixo x e a parábola x=y^{2}) e ambos deram limite 0. Isso não prova por si só que o limite total existe, mas sugere que a função pode tender a 0. Para provar continuidade devemos usar a definição formal do limite (epsilon–delta) ou uma expressão geral que controle T(x,y) em função da distância ao origin.
Passo 5
Vou reescrever T em coordenadas polares para obter uma expressão clara do comportamento quando (x,y)\to(0,0). Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituo na expressão para (x,y)\neq(0,0):
Da expressão em polares temos a desigualdade útil (lembrando que |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1):
|T(x,y)| = |r\cos\theta\,\sin^{2}\theta| \le r.
Mas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo temos o majorante
|T(x,y)-0|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto permite uma prova epsilon–delta de continuidade.
Passo 7
Prova formal (epsilon–delta) de que T é contínua em (0,0): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,
Conclusão: para todo v=(a,b)\neq(0,0) a derivada direcional existe e é dada por essa fórmula.
Passo 11
Para verificar diferenciabilidade em (0,0) usamos a definição: T é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} (normalmente L(h,k)=\nabla T(0,0)\cdot(h,k)) tal que
Já calculamos as derivadas parciais em (0,0) e ambas são 0, então o candidato natural para L é L(h,k)=0. Assim a condição de diferenciabilidade torna-se
Este quociente não depende de r; depende apenas de \theta. Para a existência do limite quando r\to0 seria necessário que \cos\theta\,\sin^{2}\theta fosse sempre 0 independentemente de \theta. Mas isto não é verdade: por exemplo para \theta=\pi/4 obtemos
Portanto existem direções (ângulos \theta fixos) ao longo das quais o quociente T(r\cos\theta,r\sin\theta)/r tende a um número diferente de 0. Concretamente, ao ir radialmente para a origem mantendo \theta=\pi/4 obtemos
Logo o limite exigido pela definição de diferenciabilidade não existe (não é 0). Portanto T não é diferenciável em (0,0).
Resposta
a) Limites ao longo dos caminhos: ao longo de y=0 o limite é 0. ao longo de x=y^{2} o limite é 0.
b) T é contínua em (0,0).
c) \dfrac{\partial T}{\partial x}(0,0)=0,\quad \dfrac{\partial T}{\partial y}(0,0)=0.
d) Sim. Para v=(a,b)\neq(0,0) existe