Considere uma placa metálica onde a temperatura próxima a um ponto de solda defeituoso na origem é modelada por:
T(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Calcule o limite de T ao longo de dois caminhos distintos.
b) Usando a definição formal de limite, verifique se T é contínua em (0,0).
c) Determine as derivadas parciais de T em (0,0).
d) As derivadas direcionais \frac{\partial T}{\partial v}(0,0) existem para todo vetor v=(a, b) \neq(0,0) ?
e) Verifique se T é diferenciável em (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece a função temperatura definida por
T(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
a) Calcular o limite de T ao longo de dois caminhos distintos que vão a (0,0).
b) Usando a definição formal de limite, verificar se T é contínua em (0,0).
c) Determinar as derivadas parciais de T em (0,0).
d) Verificar se as derivadas direcionais \frac{\partial T}{\partial v}(0,0) existem para todo vetor v=(a,b)\neq(0,0).
e) Verificar se T é diferenciável em (0,0) e justificar.
Informações relevantes dadas: a expressão de T(x,y) para (x,y)\neq(0,0) e o valor T(0,0)=0. A resolução começará agora.]

Passo 2

Vou calcular o limite de T ao longo do caminho y=0 (o eixo x). Substituo y=0 na fórmula para (x,y)\neq(0,0):
T(x,0)=\frac{x\cdot 0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=0.
Ao aproximarmos (x,0) de (0,0) (isto é, x\to0), o valor de T(x,0) permanece 0. Logo o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,0)\to(0,0)} T(x,0)=0.

Passo 3

Agora calculo o limite ao longo de um caminho não linear, por exemplo x=y^{2}. Substituo x=y^{2} com y\to0:
T(y^{2},y)=\frac{(y^{2})\,y^{2}}{(y^{2})^{2}+y^{2}}=\frac{y^{4}}{y^{4}+y^{2}}.
Fatorando y^{2} no denominador:
\frac{y^{4}}{y^{2}(y^{2}+1)}=\frac{y^{2}}{y^{2}+1}.
Quando y\to0 isto tende a 0. Portanto o limite ao longo do caminho x=y^{2} é
\lim_{y\to0} T(y^{2},y)=0.

Passo 4

Observação didática sobre caminhos: vimos dois caminhos distintos (o eixo x e a parábola x=y^{2}) e ambos deram limite 0. Isso não prova por si só que o limite total existe, mas sugere que a função pode tender a 0. Para provar continuidade devemos usar a definição formal do limite (epsilon–delta) ou uma expressão geral que controle T(x,y) em função da distância ao origin.

Passo 5

Vou reescrever T em coordenadas polares para obter uma expressão clara do comportamento quando (x,y)\to(0,0). Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituo na expressão para (x,y)\neq(0,0):
T(r\cos\theta, r\sin\theta)=\frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}}.
Calculo passo a passo:
(r\sin\theta)^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta,
então
T(r\cos\theta, r\sin\theta)=\frac{r\cos\theta\cdot r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}} = r\cos\theta\,\sin^{2}\theta.

Passo 6

Da expressão em polares temos a desigualdade útil (lembrando que |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1):
|T(x,y)| = |r\cos\theta\,\sin^{2}\theta| \le r.
Mas r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, logo temos o majorante
|T(x,y)-0|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto permite uma prova epsilon–delta de continuidade.

Passo 7

Prova formal (epsilon–delta) de que T é contínua em (0,0): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,
|T(x,y)-T(0,0)|=|T(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Assim, pela definição de limite, \lim_{(x,y)\to(0,0)} T(x,y)=T(0,0)=0. Portanto T é contínua em (0,0).

Passo 8

Agora calculo as derivadas parciais em (0,0) usando a definição. A derivada parcial em x é
\frac{\partial T}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{T(h,0)-T(0,0)}{h}.
Como já vimos T(h,0)=0 para h\neq0, temos
\frac{T(h,0)-T(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
portanto o limite é 0. Logo
\frac{\partial T}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 9

A derivada parcial em y é
\frac{\partial T}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{T(0,h)-T(0,0)}{h}.
Como T(0,h)=0 para h\neq0, similarmente obtemos
\frac{T(0,h)-T(0,0)}{h}=0,
e o limite é 0. Portanto
\frac{\partial T}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 10

Agora vou calcular a derivada direcional em direção a um vetor v=(a,b)\neq(0,0) a partir da definição:
\frac{\partial T}{\partial v}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{T(ta,tb)-T(0,0)}{t}.
Substituo na expressão de T (para t\neq0):
T(ta,tb)=\frac{(ta)\,(tb)^{2}}{(ta)^{2}+(tb)^{2}}.
Calculo passo a passo:
(ta)(tb)^{2}=t^{3} a b^{2},\qquad (ta)^{2}+(tb)^{2}=t^{2}(a^{2}+b^{2}),
então
T(ta,tb)=\frac{t^{3} a b^{2}}{t^{2}(a^{2}+b^{2})}=t\cdot\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Dividindo por t para a definição da derivada direcional:
\frac{T(ta,tb)-0}{t}=\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}},
que é independente de t. Portanto o limite quando t\to0 existe e vale
\frac{\partial T}{\partial v}(0,0)=\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Conclusão: para todo v=(a,b)\neq(0,0) a derivada direcional existe e é dada por essa fórmula.

Passo 11

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) usamos a definição: T é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} (normalmente L(h,k)=\nabla T(0,0)\cdot(h,k)) tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{T(h,k)-T(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Já calculamos as derivadas parciais em (0,0) e ambas são 0, então o candidato natural para L é L(h,k)=0. Assim a condição de diferenciabilidade torna-se
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{T(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0\\ ?

Passo 12

Usando a expressão em coordenadas polares T(r\cos\theta,r\sin\theta)=r\cos\theta\,\sin^{2}\theta, temos
\frac{T(r\cos\theta,r\sin\theta)}{r}=\cos\theta\,\sin^{2}\theta.
Este quociente não depende de r; depende apenas de \theta. Para a existência do limite quando r\to0 seria necessário que \cos\theta\,\sin^{2}\theta fosse sempre 0 independentemente de \theta. Mas isto não é verdade: por exemplo para \theta=\pi/4 obtemos
\cos\frac{\pi}{4}\,\sin^{2}\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\neq 0.
Portanto existem direções (ângulos \theta fixos) ao longo das quais o quociente T(r\cos\theta,r\sin\theta)/r tende a um número diferente de 0. Concretamente, ao ir radialmente para a origem mantendo \theta=\pi/4 obtemos
\lim_{r\to0}\frac{T(r\cos\frac{\pi}{4},r\sin\frac{\pi}{4})}{r}=\frac{\sqrt{2}}{4}\neq0.
Logo o limite exigido pela definição de diferenciabilidade não existe (não é 0). Portanto T não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) Limites ao longo dos caminhos: ao longo de y=0 o limite é 0. ao longo de x=y^{2} o limite é 0.
b) T é contínua em (0,0).
c) \dfrac{\partial T}{\partial x}(0,0)=0,\quad \dfrac{\partial T}{\partial y}(0,0)=0.
d) Sim. Para v=(a,b)\neq(0,0) existe
\frac{\partial T}{\partial v}(0,0)=\frac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
e) T não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados