Para um satélite de telecomunicações em órbita terrestre, o custo operacional anual depende do raio orbital r (em milhares de km medidos do centro da Terra) e da velocidade orbital v(\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{s}), sendo dado por:
C(r, v)=2 r^{2}+8 v^{2}
Em mecânica orbital, uma órbita estável requer que o momento angular específico h=r v seja constante. Para este satélite, medições indicam que h=4 nas unidades adequadas.
a) Identifique a função restrição g(r, v) e o nível k adequados para o problema de otimização, baseando-se na condição física de órbita estável.
b) Determine os gradientes \nabla C e \nabla g.
c) Determine o sistema que fornece os pontos críticos de C restrita à curva de nível do item a).
d) Determine todas as soluções do sistema acima.
e) Determine o custo operacional mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo e a condição física e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
  • Dado: a função custo anual em termos do raio orbital r (em milhares de km, medido do centro da Terra) e da velocidade v (em km/s) é
C(r,v)=2r^{2}+8v^{2}.
  • Dado: a condição física de órbita estável implica que o momento angular específico h=r v é constante, e as medições indicam h=4 (nessas unidades).
  • Perguntas:
    a) Identificar a função restrição g(r,v) e o nível k adequados para representar a condição física.
    b) Calcular os gradientes \nabla C e \nabla g.
    c) Escrever o sistema que determina os pontos críticos de C restrita à curva de nível dada pela restrição (ou seja, as equações de Lagrange).
    d) Resolver esse sistema (achar todas as soluções).
    e) Determinar o valor mínimo do custo operacional (se houver).
Observações úteis (apenas dados): as variáveis são r e v; fisicamente espera-se r>0 e v>0, mas matematicamente as equações podem admitir soluções com sinais variados.

Passo 2

Breve explicação didática do método que vamos usar (sem pular etapas): Lagrange multipliers.
  • Intuição: queremos minimizar uma função de duas variáveis C(r,v) sujeita à condição g(r,v)=k. geometricamente, isso significa procurar pontos da curva \{(r,v): g(r,v)=k\} onde o valor de C é crítico. No ponto ótimo (se for ponto interno à curva suave), o gradiente de C deve ser paralelo ao gradiente de g — porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento, e na restrição só podemos mover tangencialmente à curva; então a componente de maior crescimento normal à curva deve coincidir, levando a paralelismo.
  • Fórmula prática: existem \lambda (multiplicador de Lagrange) tal que
\nabla C(r,v)=\lambda \nabla g(r,v),
junto com a equação de restrição g(r,v)=k. Isso nos dá um sistema de três equações (duas do gradiente + a restrição) para as incógnitas r,v,\lambda.
  • Vou aplicar exatamente isso, mostrando as derivadas passo a passo.

Passo 3

(a) Identificar a função restrição e o nível.
  • A condição física é r v = 4. Uma escolha natural é tomar a função restrição
g(r,v)=rv.
  • O nível correspondente é
k=4.
  • Em forma de equação de restrição para usar no método de Lagrange, escrevemos
g(r,v)-k=rv-4=0.

Passo 4

(b) Calcular os gradientes \nabla C e \nabla g, passo a passo.
  • Começo com C(r,v)=2r^{2}+8v^{2}.
    • Derivada parcial de C em relação a r: tome v fixo, então \partial C/\partial r = 2\cdot 2r = 4r.
    • Derivada parcial de C em relação a v: tome r fixo, então \partial C/\partial v = 2\cdot 8 v = 16 v.
    • Logo o gradiente é o vetor das parciais:
\nabla C(r,v) = \bigl(4r,\;16v\bigr).
  • Agora g(r,v)=rv.
    • \partial g/\partial r = v (v tratado como constante).
    • \partial g/\partial v = r.
    • Logo
\nabla g(r,v) = \bigl(v,\;r\bigr).

Passo 5

(c) Montar o sistema de Lagrange — as equações que fornecem os pontos críticos de C sujeito à restrição rv=4.
  • A condição de Lagrange é
\nabla C(r,v)=\lambda \nabla g(r,v),
ou seja, componente a componente:
4r = \lambda v,
16v = \lambda r.
  • E a restrição é
rv = 4.
  • Portanto o sistema é:
\begin{cases} 4r = \lambda v,\\[4pt] 16v = \lambda r,\\[4pt] rv = 4. \end{cases}]

Passo 6

(d) Resolver o sistema: passo a passo algébrico claro.
  • Da primeira equação temos \lambda = \dfrac{4r}{v} (desde que v\neq 0; se v=0 a restrição rv=4 seria impossível).
  • Da segunda equação temos \lambda = \dfrac{16v}{r} (desde que r\neq 0; mas r=0 também contradiz rv=4).
  • Igualando as expressões para \lambda:
\frac{4r}{v} = \frac{16v}{r}.
  • Multiplicando ambos os lados por v r (não nulos), obtemos:
4r^{2} = 16 v^{2}.
  • Simplificando:
r^{2} = 4 v^{2}.
  • Tirando raiz quadrada (atenção aos sinais), obtemos duas possibilidades matemáticas:
r = 2v \quad\text{ou}\quad r = -2v.
  • Agora usar a restrição rv=4.
Caso 1: r=2v.
  • Substituindo na restrição:
(2v)\,v = 4 \quad\Rightarrow\quad 2v^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad v^{2}=2.
  • Logo
v = \pm \sqrt{2}.
  • Se v=\sqrt{2} então r=2v = 2\sqrt{2}.
  • Se v=-\sqrt{2} então r=2v = -2\sqrt{2}.
Caso 2: r=-2v.
  • Substituindo na restrição:
(-2v)\,v = 4 \quad\Rightarrow\quad -2 v^{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad v^{2} = -2,
o que não tem solução real. Portanto o caso r=-2v não gera soluções reais compatíveis com rv=4.
  • Conclusão das soluções reais do sistema:
    • (r,v)=(2\sqrt{2},\;\sqrt{2})
    • (r,v)=(-2\sqrt{2},\;-\sqrt{2}) (matematicamente válida, porque (-2\sqrt{2})(-\sqrt{2})=4, mas fisicamente r negativo não faz sentido como raio).
  • Valores do multiplicador \lambda: usar \lambda = \dfrac{4r}{v}. Para a solução física (r,v)=(2\sqrt{2},\sqrt{2}),
\lambda = \frac{4(2\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8.
Para a solução com sinais trocados \lambda também dá 8 (pois o sinal cancela).

Passo 7

(e) Determinar o custo operacional mínimo e verificar que é mínimo (confirmação por um método univariado mais direto).
  • Para verificar e deixar a conta bem mastigada, podemos eliminar v usando a restrição v=4/r (válido para r\neq 0) e estudar a função de uma variável
\tilde C(r)=C\bigl(r,\tfrac{4}{r}\bigr)=2r^{2}+8\left(\frac{4}{r}\right)^{2} =2r^{2}+8\cdot\frac{16}{r^{2}} =2r^{2}+\frac{128}{r^{2}}.
  • Derivando em relação a r:
\tilde C'(r)=4r - \frac{256}{r^{3}}.
  • Zerar a derivada para pontos críticos:
4r - \frac{256}{r^{3}}=0 \quad\Rightarrow\quad 4r^{4}=256 \quad\Rightarrow\quad r^{4}=64.
  • Então r^{2}=8 e r=\pm 2\sqrt{2}. Para r>0 pegamos r=2\sqrt{2}, que coincide com a solução encontrada por Lagrange.
  • Segunda derivada:
\tilde C''(r)=4 + \frac{768}{r^{4}}.
  • Avaliando em r=2\sqrt{2} (onde r^{4}=64), temos \tilde C''(2\sqrt{2})=4+\dfrac{768}{64}=4+12=16>0. Como a segunda derivada é positiva, esse ponto é um mínimo local. Além disso, \tilde C(r)\to +\infty quando r\to 0^+ ou r\to +\infty, então este mínimo local é global na região r>0.
  • Valor do custo no ponto ótimo: usando r^{2}=8 e v^{2}=2,
C_{\min} = 2r^{2}+8v^{2} = 2\cdot 8 + 8\cdot 2 = 16 + 16 = 32.
  • Portanto o custo operacional mínimo (no domínio fisicamente relevante r>0,v>0) é \;32 (unidade monetária anual conforme enunciado implícito).

Resposta

(a) g(r,v)=rv,\quad k=4.\) (b) \(\nabla C(r,v)=\bigl(4r,\;16v\bigr),\quad \nabla g(r,v)=\bigl(v,\;r\bigr).\) \text{(c)} \(\displaystyle\begin{cases}4r=\lambda v,\\[4pt]16v=\lambda r,\\[4pt]rv=4.\end{cases}
(d) Todas as soluções reais: (r,v)=(2\sqrt{2},\;\sqrt{2}) e (r,v)=(-2\sqrt{2},\;-\sqrt{2}). (Solução fisicamente relevante: (2\sqrt{2},\sqrt{2}).)
(e) Custo mínimo (físico) \;C_{\min}=32.]

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