Para um satélite de telecomunicações em órbita terrestre, o custo operacional anual depende do raio orbital r (em milhares de km medidos do centro da Terra) e da velocidade orbital v(\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{s}), sendo dado por:
C(r, v)=2 r^{2}+8 v^{2}
Em mecânica orbital, uma órbita estável requer que o momento angular específico h=r v seja constante. Para este satélite, medições indicam que h=4 nas unidades adequadas.
a) Identifique a função restrição g(r, v) e o nível k adequados para o problema de otimização, baseando-se na condição física de órbita estável.
b) Determine os gradientes \nabla C e \nabla g.
c) Determine o sistema que fornece os pontos críticos de C restrita à curva de nível do item a).
d) Determine todas as soluções do sistema acima.
e) Determine o custo operacional mínimo.
Passo 1
O enunciado dá a função de custo e a condição física e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dado: a função custo anual em termos do raio orbital r (em milhares de km, medido do centro da Terra) e da velocidade v (em km/s) é
C(r,v)=2r^{2}+8v^{2}.
Dado: a condição física de órbita estável implica que o momento angular específico h=r v é constante, e as medições indicam h=4 (nessas unidades).
Perguntas:
a) Identificar a função restrição g(r,v) e o nível k adequados para representar a condição física.
b) Calcular os gradientes \nabla C e \nabla g.
c) Escrever o sistema que determina os pontos críticos de C restrita à curva de nível dada pela restrição (ou seja, as equações de Lagrange).
d) Resolver esse sistema (achar todas as soluções).
e) Determinar o valor mínimo do custo operacional (se houver).
Observações úteis (apenas dados): as variáveis são r e v; fisicamente espera-se r>0 e v>0, mas matematicamente as equações podem admitir soluções com sinais variados.
Passo 2
Breve explicação didática do método que vamos usar (sem pular etapas): Lagrange multipliers.
Intuição: queremos minimizar uma função de duas variáveis C(r,v) sujeita à condição g(r,v)=k. geometricamente, isso significa procurar pontos da curva \{(r,v): g(r,v)=k\} onde o valor de C é crítico. No ponto ótimo (se for ponto interno à curva suave), o gradiente de C deve ser paralelo ao gradiente de g — porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento, e na restrição só podemos mover tangencialmente à curva; então a componente de maior crescimento normal à curva deve coincidir, levando a paralelismo.
Fórmula prática: existem \lambda (multiplicador de Lagrange) tal que
\nabla C(r,v)=\lambda \nabla g(r,v),
junto com a equação de restrição g(r,v)=k. Isso nos dá um sistema de três equações (duas do gradiente + a restrição) para as incógnitas r,v,\lambda.
Vou aplicar exatamente isso, mostrando as derivadas passo a passo.
Passo 3
(a) Identificar a função restrição e o nível.
A condição física é r v = 4. Uma escolha natural é tomar a função restrição
g(r,v)=rv.
O nível correspondente é
k=4.
Em forma de equação de restrição para usar no método de Lagrange, escrevemos
g(r,v)-k=rv-4=0.
Passo 4
(b) Calcular os gradientes \nabla C e \nabla g, passo a passo.
Começo com C(r,v)=2r^{2}+8v^{2}.
Derivada parcial de C em relação a r: tome v fixo, então \partial C/\partial r = 2\cdot 2r = 4r.
Derivada parcial de C em relação a v: tome r fixo, então \partial C/\partial v = 2\cdot 8 v = 16 v.
Logo o gradiente é o vetor das parciais:
\nabla C(r,v) = \bigl(4r,\;16v\bigr).
Agora g(r,v)=rv.
\partial g/\partial r = v (v tratado como constante).
\partial g/\partial v = r.
Logo
\nabla g(r,v) = \bigl(v,\;r\bigr).
Passo 5
(c) Montar o sistema de Lagrange — as equações que fornecem os pontos críticos de C sujeito à restrição rv=4.
Então r^{2}=8 e r=\pm 2\sqrt{2}. Para r>0 pegamos r=2\sqrt{2}, que coincide com a solução encontrada por Lagrange.
Segunda derivada:
\tilde C''(r)=4 + \frac{768}{r^{4}}.
Avaliando em r=2\sqrt{2} (onde r^{4}=64), temos \tilde C''(2\sqrt{2})=4+\dfrac{768}{64}=4+12=16>0. Como a segunda derivada é positiva, esse ponto é um mínimo local. Além disso, \tilde C(r)\to +\infty quando r\to 0^+ ou r\to +\infty, então este mínimo local é global na região r>0.
Valor do custo no ponto ótimo: usando r^{2}=8 e v^{2}=2,