Considere uma placa plana de comprimento de 2 m e largura de 1 m . Na parte superior, há um escoamento de água a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e, na parte inferior, o fluido é óleo, também a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as espessuras da camada limite, a força de arrasto de cada superfície e as forças resultantes considerando escoamento em direções opostas.
Propriedades dos Fluidos:
Fluido Temp. (K) Densidade (kg/m3) Viscosidade (kg/m.s)
Água 350 K 973,15 0,000367
Água 400 K 934,35 0,000257
Óleo 350 K 853,9 0,03560
Óleo 400 K 825,1 0,00874

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as espessuras da camada limite na extremidade da placa ( x=2\\ \mathrm{m}) para o escoamento na face superior (água) e na face inferior (óleo).
  • Determinar a força de arrasto (força de atrito de pele) em cada face da placa.
  • Determinar as forças resultantes quando os escoamentos nas duas faces têm direções opostas (água na parte superior a 5\\ \mathrm{m/s} para a direita e óleo na parte inferior a 5\\ \mathrm{m/s} para a esquerda).
Dados geométricos e de escoamento (retirados do enunciado):
  • Comprimento da placa: L=2\\ \mathrm{m}.
  • Largura (profundidade na direção perpendicular ao escoamento): b=1\\ \mathrm{m}.
    Logo área de cada face: A=L\cdot b=2\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade de referência em ambas as faces: U=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Propriedades dos fluidos (tirei estes números da tabela fornecida):
    • Água a 350\\ \mathrm{K}: \rho=973{,}15\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=0{,}000367\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
    • Água a 400\\ \mathrm{K}: \rho=934{,}35\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=0{,}000257\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
    • Óleo a 350\\ \mathrm{K}: \rho=853{,}9\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=0{,}03560\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
    • Óleo a 400\\ \mathrm{K}: \rho=825{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=0{,}00874\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
Observação sobre temperatura: o enunciado não especificou qual temperatura usar; por isso vou calcular resultados para as duas temperaturas fornecidas para cada fluido (isto é, todas as quatro combinações possíveis água/óleo) e mostrar claramente os valores usados em cada caso.

Passo 2

Cálculo das viscosidades cinemáticas \nu=\mu/\rho e do número de Reynolds baseado no comprimento da placa \mathrm{Re}_L = U L / \nu. Vou mostrar a fórmula e depois os números (tudo em unidades SI).
Fórmulas:
\nu=\dfrac{\mu}{\rho}, \qquad \mathrm{Re}_L=\dfrac{U L}{\nu}.
Cálculos (peguei \rho e \mu da tabela):
  • Água, 350\\ \mathrm{K}: \nu=\dfrac{0{,}000367}{973{,}15}=3{,}7717\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_L=\dfrac{5\cdot 2}{3{,}7717\times10^{-7}}=2{,}6513\times10^{7}.
  • Água, 400\\ \mathrm{K}: \nu=\dfrac{0{,}000257}{934{,}35}=2{,}7499\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_L=\dfrac{10}{2{,}7499\times10^{-7}}=3{,}6364\times10^{7}.
  • Óleo, 350\\ \mathrm{K}: \nu=\dfrac{0{,}03560}{853{,}9}=4{,}170\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_L=\dfrac{10}{4{,}170\times10^{-5}}=2{,}3986\times10^{5}.
  • Óleo, 400\\ \mathrm{K}: \nu=\dfrac{0{,}00874}{825{,}1}=1{,}059\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
\mathrm{Re}_L=\dfrac{10}{1{,}059\times10^{-5}}=9{,}4438\times10^{5}.
Interpretação do regime:
  • Para placas planas em escoamento externo, a transição laminar→turbulento costuma ocorrer perto de \mathrm{Re}_x\approx 5\times10^{5}.
  • Conclusões:
    • Águas (ambas temperaturas): \mathrm{Re}_L muito maiores que 5\times10^5 → escoamento essencialmente turbulento ao longo da placa (transição muito próximo da borda).
    • Óleo a 350\\ \mathrm{K}: \mathrm{Re}_L\approx 2{,}4\times10^{5}<5\times10^{5} → escoamento laminar ao longo de toda a placa.
    • Óleo a 400\\ \mathrm{K}: \mathrm{Re}_L\approx9{,}44\times10^{5}>5\times10^{5} → há uma região laminar desde a borda até x_{\mathrm{tr}} e turbulenta após x_{\mathrm{tr}}. O ponto de transição estimado: x_{\mathrm{tr}}=\dfrac{5\times10^{5}\,\nu}{U},números: x_{\mathrm{tr}}=\dfrac{5\times10^{5}\cdot 1{,}059\times10^{-5}}{5}=1{,}059\\ \mathrm{m}.Logo, para o óleo a 400\\ \mathrm{K} a placa tem cerca de 1{,}059\\ \mathrm{m} laminar e o trecho 1{,}059 2{,}0\\ \mathrm{m} é turbulento.

Passo 3

Fórmulas usuais para a espessura da camada limite à posição x (usar x=L para a extremidade):
  • Para camada limite laminar (solução de Blasius, espessura onde a velocidade atinge cerca de 99% da livre circulação):
    \delta_{99,\mathrm{lam}}(x)\approx \dfrac{5\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}, \qquad \mathrm{onde}\\ \mathrm{Re}_x=\dfrac{U x}{\nu}.
    Explicação rápida: a solução de Blasius para placa plana fornece um comportamento \delta\propto x/\sqrt{\mathrm{Re}_x} e o fator empírico para \delta_{99} fica perto de 5.
  • Para camada limite turbulenta (aproximação empírica para escoamento plenamente turbulento de placa lisa):
    \delta_{99,\mathrm{turb}}(x)\approx 0{,}37\,\dfrac{x}{\mathrm{Re}_x^{1/5}}.
    Explicação: em escoamento turbulento o crescimento é mais rápido; a potência 1/5 vem de resultados empíricos/teóricos para camada limite turbulenta.
Vamos calcular \delta_{99} em x=L=2\\ \mathrm{m} para cada caso, usando a expressão apropriada (laminar ou turbulenta, e para óleo a 400\\ \mathrm{K} usar turbulenta no ponto x=2 porque localmente \mathrm{Re}_x> transição).
Cálculos:
  • Água, 350\\ \mathrm{K} (turbulento): \mathrm{Re}_L=2{,}6513\times10^{7},\qquad \delta_{99} \approx 0{,}37\cdot\dfrac{2}{\mathrm{Re}_L^{1/5}}.
\mathrm{Re}_L^{1/5}\approx 30{,}50 \quad\Rightarrow\quad \delta_{99}\approx \dfrac{0{,}74}{30{,}50}=0{,}02426\\ \mathrm{m}.
  • Água, 400\\ \mathrm{K} (turbulento): \mathrm{Re}_L=3{,}6364\times10^{7},\quad \mathrm{Re}_L^{1/5}\approx 32{,}45,
\delta_{99}\approx \dfrac{0{,}74}{32{,}45}=0{,}02282\\ \mathrm{m}.
  • Óleo, 350\\ \mathrm{K} (laminar): \mathrm{Re}_L=2{,}3986\times10^{5},\quad \delta_{99}\approx \dfrac{5\cdot 2}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}=\dfrac{10}{\sqrt{2{,}3986\times10^{5}}}.
\sqrt{\mathrm{Re}_L}\approx 489{,}81\quad\Rightarrow\quad \delta_{99}\approx 0{,}02041\\ \mathrm{m}.
  • Óleo, 400\\ \mathrm{K} (transição em x_{\mathrm{tr}}=1{,}059\\ \mathrm{m}, mas em x=2 já turbulento, usar fórmula turbulenta em x=2): \mathrm{Re}_L=9{,}4438\times10^{5},\quad \mathrm{Re}_L^{1/5}\approx 15{,}68,
\delta_{99}\approx \dfrac{0{,}74}{15{,}68}=0{,}04720\\ \mathrm{m}.
Interpretação numérica: as espessuras calculadas em x=2\\ \mathrm{m} são da ordem de 2 a 5 centímetros dependendo do caso (água: \sim\!2{,}3\text{–}2{,}4\\ \mathrm{cm}; óleo frio: \sim\!2{,}04\\ \mathrm{cm}; óleo quente: \sim\!4{,}72\\ \mathrm{cm}).

Passo 4

Cálculo da força de arrasto por atrito de pele. Metodologia e fórmulas:
  • Para escoamento sobre placa plana, é comum usar o coeficiente médio de atrito \bar{c_f} sobre o comprimento L e então:
    F_D = \dfrac{1}{2}\,\rho\,U^2\,\bar{c_f}\,A,
    onde A=L\cdot b é a área da face da placa (aqui A=2\\ \mathrm{m^2}).
  • Fórmulas empíricas para o coeficiente médio:
    • Totalmente laminar sobre 0\le x\le L: \bar{c_{f,\mathrm{lam}}}=\dfrac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}.(vem da integração da solução local de Blasius c_{f,x}=0{,}664/\sqrt{\mathrm{Re}_x}.)
    • Totalmente turbulento sobre 0\le x\le L: \bar{c_{f,\mathrm{turb}}}=\dfrac{0{,}074}{\mathrm{Re}_L^{1/5}}.(aproximação empírica corrente para placa lisa.)
    • Caso com transição (como o óleo a 400\\ \mathrm{K}): somar contribuições laminar (de 0 a x_{\mathrm{tr}}) e turbulenta (de x_{\mathrm{tr}} a L) integrando as expressões locais: \text{Integral laminar (0→}x_{\mathrm{tr}}):\\ I_1 =1{,}328\sqrt{\dfrac{\nu x_{\mathrm{tr}}}{U}}.
\text{Integral turbulenta (}x_{\mathrm{tr}}\to L):\\ I_2 =0{,}059\left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5}\cdot\dfrac{5}{4}\,\bigl(L^{4/5}-x_{\mathrm{tr}}^{4/5}\bigr).
\bar{c_f}=\dfrac{I_1+I_2}{L}.
(Essas integrais vêm de integrar \(c_{f,x}\) ao longo de \(x\).)
Agora aplico as fórmulas aos casos numéricos (usando A=2\\ \mathrm{m^2}). Também calculo a pressão dinâmica q=\tfrac{1}{2}\rho U^2 para facilitar.
Cálculos numéricos:
  • Água, 350\\ \mathrm{K} (turbulento): \bar{c_f}=\dfrac{0{,}074}{\mathrm{Re}_L^{1/5}}=\dfrac{0{,}074}{30{,}50}=0{,}002426.
q=\tfrac{1}{2}\rho U^2=\tfrac{1}{2}\cdot 973{,}15\cdot 25=12\,164{,}375\\ \mathrm{Pa}.
F_{\text{água }350}=q\cdot\bar{c_f}\cdot A=12\,164{,}375\cdot 0{,}002426\cdot 2=59{,}02\\ \mathrm{N}.á
  • Água, 400\\ \mathrm{K} (turbulento): \bar{c_f}=\dfrac{0{,}074}{32{,}45}=0{,}002281,
q=\tfrac{1}{2}\cdot 934{,}35\cdot25=11\,679{,}375\\ \mathrm{Pa},
F_{\text{água }400}=11\,679{,}375\cdot 0{,}002281\cdot 2=53{,}28\\ \mathrm{N}.á
  • Óleo, 350\\ \mathrm{K} (laminar sobre toda a placa): \bar{c_f}=\dfrac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}=\dfrac{1{,}328}{489{,}81}=0{,}0027117,
q=\tfrac{1}{2}\cdot 853{,}9\cdot25=10\,673{,}75\\ \mathrm{Pa},
F_{\text{óleo }350}=10\,673{,}75\cdot 0{,}0027117\cdot 2=57{,}89\\ \mathrm{N}.ó
  • Óleo, 400\\ \mathrm{K} (região mista: laminar até x_{\mathrm{tr}}=1{,}059\\ \mathrm{m}, turbulento depois):
    Calculo I_1 e I_2: I_1=1{,}328\sqrt{\dfrac{\nu x_{\mathrm{tr}}}{U}} =1{,}328\sqrt{\dfrac{1{,}059\times10^{-5}\cdot 1{,}059}{5}}=0{,}0019889.
I_2=0{,}059\left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5}\cdot\dfrac{5}{4}\bigl(L^{4/5}-x_{\mathrm{tr}}^{4/5}\bigr)=0{,}003748.
I_1+I_2=0{,}0057369,\qquad \bar{c_f}=\dfrac{I_1+I_2}{L}=\dfrac{0{,}0057369}{2}=0{,}0028685.
q=\tfrac{1}{2}\cdot 825{,}1\cdot25=10\,313{,}75\\ \mathrm{Pa},
F_{\text{óleo }400}=10\,313{,}75\cdot 0{,}0028685\cdot 2=59{,}16\\ \mathrm{N}.ó
Observação: os valores numéricos mostram que as forças de atrito de pele nas superfícies ficam, convenientemente, todas na mesma ordem de grandeza (algumas dezenas de newtons), por causa do produto \rho U^2 e do coeficiente \bar{c_f}.

Passo 5

Forças resultantes considerando escoamentos em direções opostas.
  • Convenção de sinais: tomo a direção da água superior (para a direita) como positiva. Então:
    • Se F_{\text{água}}>0á é para a direita.
    • O óleo, escorrendo para a esquerda, aplica força na placa para a esquerda; numericamente a força do óleo será negativa no somatório. Em termos de comparação, o módulo de F_{\text{óleo}}ó compete com o de F_{\text{água}}á.
Calculo das resultantes para as quatro combinações (água a 350 ou 400 K × óleo a 350 ou 400 K). Usei os valores de F calculados no passo anterior.
  • Combinação 1: Água 350\\ \mathrm{K} (top) e Óleo 350\\ \mathrm{K} (bottom)
    F_{\text{água }350}=+59{,}02\\ \mathrm{N},\qquad F_{\text{óleo }350}=57{,}89\\ \mathrm{N}\\ \text{(para a esquerda)}.áó
    Resultado:
    F_{\mathrm{res}}=59{,}02-57{,}89=+1{,}13\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção: para a direita}).çã
  • Combinação 2: Água 350\\ \mathrm{K} (top) e Óleo 400\\ \mathrm{K} (bottom)
    F_{\text{água }350}=59{,}02\\ \mathrm{N},\qquad F_{\text{óleo }400}=59{,}16\\ \mathrm{N}.áó
F_{\mathrm{res}}=59{,}02-59{,}16=-0{,}14\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção: para a esquerda}).çã
  • Combinação 3: Água 400\\ \mathrm{K} (top) e Óleo 350\\ \mathrm{K} (bottom) F_{\text{água }400}=53{,}28\\ \mathrm{N},\qquad F_{\text{óleo }350}=57{,}89\\ \mathrm{N},áó
F_{\mathrm{res}}=53{,}28-57{,}89=-4{,}61\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção: para a esquerda}).çã
  • Combinação 4: Água 400\\ \mathrm{K} (top) e Óleo 400\\ \mathrm{K} (bottom) F_{\text{água }400}=53{,}28\\ \mathrm{N},\qquad F_{\text{óleo }400}=59{,}16\\ \mathrm{N},áó
F_{\mathrm{res}}=53{,}28-59{,}16=-5{,}88\\ \mathrm{N}\quad(\text{direção: para a esquerda}).çã
Interpretação física: quando as forças são muito próximas (como nos dois primeiros casos) o resultado líquido é pequeno; se o óleo tem arrasto maior, o resultado aponta para a esquerda (óleo “puxa” mais).

Resposta

Água 350\\ \mathrm{K}: \delta_{99}=0{,}02426\\ \mathrm{m}, F_{\text{água}}=59{,}02\\ \mathrm{N}á.
Água 400\\ \mathrm{K}: \delta_{99}=0{,}02282\\ \mathrm{m}, F_{\text{água}}=53{,}28\\ \mathrm{N}á.
Óleo 350\\ \mathrm{K}: \delta_{99}=0{,}02041\\ \mathrm{m}, F_{\text{óleo}}=57{,}89\\ \mathrm{N}ó.
Óleo 400\\ \mathrm{K}: \delta_{99}=0{,}04720\\ \mathrm{m}, F_{\text{óleo}}=59{,}16\\ \mathrm{N}ó.
Resultados para combinações (sinal positivo = resultante para a direita, negativo = para a esquerda):
  • Água 350\\ \mathrm{K} / Óleo 350\\ \mathrm{K}: F_{\mathrm{res}}=+1{,}13\\ \mathrm{N} (direita).
  • Água 350\\ \mathrm{K} / Óleo 400\\ \mathrm{K}: F_{\mathrm{res}}=-0{,}14\\ \mathrm{N} (esquerda).
  • Água 400\\ \mathrm{K} / Óleo 350\\ \mathrm{K}: F_{\mathrm{res}}=-4{,}61\\ \mathrm{N} (esquerda).
  • Água 400\\ \mathrm{K} / Óleo 400\\ \mathrm{K}: F_{\mathrm{res}}=-5{,}88\\ \mathrm{N} (esquerda).

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