Considere uma placa plana de comprimento de 2 m e largura de 1 m . Na parte superior, há um escoamento de água a
e, na parte inferior, o fluido é óleo, também a
. Determine as espessuras da camada limite, a força de arrasto de cada superfície e as forças resultantes considerando escoamento em direções opostas.
Propriedades dos Fluidos:
Fluido
Temp. (K)
Densidade (kg/m3)
Viscosidade (kg/m.s)
Água
350 K
973,15
0,000367
Água
400 K
934,35
0,000257
Óleo
350 K
853,9
0,03560
Óleo
400 K
825,1
0,00874
| Fluido | Temp. (K) | Densidade (kg/m3) | Viscosidade (kg/m.s) |
| Água | 350 K | 973,15 | 0,000367 |
| Água | 400 K | 934,35 | 0,000257 |
| Óleo | 350 K | 853,9 | 0,03560 |
| Óleo | 400 K | 825,1 | 0,00874 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as espessuras da camada limite na extremidade da placa (
) para o escoamento na face superior (água) e na face inferior (óleo). - Determinar a força de arrasto (força de atrito de pele) em cada face da placa.
- Determinar as forças resultantes quando os escoamentos nas duas faces têm direções opostas (água na parte superior a
para a direita e óleo na parte inferior a para a esquerda).
Dados geométricos e de escoamento (retirados do enunciado):
- Comprimento da placa:
. - Largura (profundidade na direção perpendicular ao escoamento):
.
Logo área de cada face:. - Velocidade de referência em ambas as faces:
. - Propriedades dos fluidos (tirei estes números da tabela fornecida):
- Água a
: , . - Água a
: , . - Óleo a
: , . - Óleo a
: , .
- Água a
Observação sobre temperatura: o enunciado não especificou qual temperatura usar; por isso vou calcular resultados para as duas temperaturas fornecidas para cada fluido (isto é, todas as quatro combinações possíveis água/óleo) e mostrar claramente os valores usados em cada caso.
Passo 2
Cálculo das viscosidades cinemáticas
e do número de Reynolds baseado no comprimento da placa
. Vou mostrar a fórmula e depois os números (tudo em unidades SI).
Fórmulas:
Cálculos (peguei
e
da tabela):
- Água,
:
- Água,
:
- Óleo,
:
- Óleo,
:
Interpretação do regime:
- Para placas planas em escoamento externo, a transição laminar→turbulento costuma ocorrer perto de
. - Conclusões:
- Águas (ambas temperaturas):
muito maiores que → escoamento essencialmente turbulento ao longo da placa (transição muito próximo da borda). - Óleo a
: → escoamento laminar ao longo de toda a placa. - Óleo a
: → há uma região laminar desde a borda até e turbulenta após . O ponto de transição estimado: números: Logo, para o óleo a a placa tem cerca de laminar e o trecho – é turbulento.
- Águas (ambas temperaturas):
Passo 3
Fórmulas usuais para a espessura da camada limite à posição
(usar
para a extremidade):
-
Para camada limite laminar (solução de Blasius, espessura onde a velocidade atinge cerca de 99% da livre circulação):Explicação rápida: a solução de Blasius para placa plana fornece um comportamento
e o fator empírico para fica perto de 5. -
Para camada limite turbulenta (aproximação empírica para escoamento plenamente turbulento de placa lisa):Explicação: em escoamento turbulento o crescimento é mais rápido; a potência
vem de resultados empíricos/teóricos para camada limite turbulenta.
Vamos calcular
em
para cada caso, usando a expressão apropriada (laminar ou turbulenta, e para óleo a
usar turbulenta no ponto
porque localmente
transição).
Cálculos:
- Água,
(turbulento):
- Água,
(turbulento):
- Óleo,
(laminar):
- Óleo,
(transição em , mas em já turbulento, usar fórmula turbulenta em ):
Interpretação numérica: as espessuras calculadas em
são da ordem de
a
centímetros dependendo do caso (água:
; óleo frio:
; óleo quente:
).
Passo 4
Cálculo da força de arrasto por atrito de pele. Metodologia e fórmulas:
-
Para escoamento sobre placa plana, é comum usar o coeficiente médio de atrito
sobre o comprimento e então: ondeé a área da face da placa (aqui ). -
Fórmulas empíricas para o coeficiente médio:
- Totalmente laminar sobre
: (vem da integração da solução local de Blasius .) - Totalmente turbulento sobre
: (aproximação empírica corrente para placa lisa.) - Caso com transição (como o óleo a
): somar contribuições laminar (de a ) e turbulenta (de a ) integrando as expressões locais:
- Totalmente laminar sobre
(Essas integrais vêm de integrar \(c_{f,x}\) ao longo de \(x\).)
Agora aplico as fórmulas aos casos numéricos (usando
). Também calculo a pressão dinâmica
para facilitar.
Cálculos numéricos:
- Água,
(turbulento):
- Água,
(turbulento):
- Óleo,
(laminar sobre toda a placa):
- Óleo,
(região mista: laminar até , turbulento depois):
Calculoe :
Observação: os valores numéricos mostram que as forças de atrito de pele nas superfícies ficam, convenientemente, todas na mesma ordem de grandeza (algumas dezenas de newtons), por causa do produto
e do coeficiente
.
Passo 5
Forças resultantes considerando escoamentos em direções opostas.
- Convenção de sinais: tomo a direção da água superior (para a direita) como positiva. Então:
- Se
é para a direita. - O óleo, escorrendo para a esquerda, aplica força na placa para a esquerda; numericamente a força do óleo será negativa no somatório. Em termos de comparação, o módulo de
compete com o de .
- Se
Calculo das resultantes para as quatro combinações (água a 350 ou 400 K × óleo a 350 ou 400 K). Usei os valores de
calculados no passo anterior.
-
Combinação 1: Água
(top) e Óleo (bottom) Resultado: -
Combinação 2: Água
(top) e Óleo (bottom)
- Combinação 3: Água
(top) e Óleo (bottom)
- Combinação 4: Água
(top) e Óleo (bottom)
Interpretação física: quando as forças são muito próximas (como nos dois primeiros casos) o resultado líquido é pequeno; se o óleo tem arrasto maior, o resultado aponta para a esquerda (óleo “puxa” mais).
Resposta
Água
:
,
.
Água :
,
.
Óleo :
,
.
Óleo :
,
.
Água
Óleo
Óleo
Resultados para combinações (sinal positivo = resultante para a direita, negativo = para a esquerda):
- Água
/ Óleo : (direita). - Água
/ Óleo : (esquerda). - Água
/ Óleo : (esquerda). - Água
/ Óleo : (esquerda).