Óleo de motor escoa sobre uma placa plana a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A extensão da placa é de 5 m . Determine a espessura da camada limite na borda de fuga da placa. Repita o cálculo para a velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Dados: \mu=3,5610^{-2} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e \rho=853,9 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Dado:
\delta=0,38 \frac{x}{R e_{x}^{0,2}}

Passo 1

O problema pede para calcular a espessura da camada limite na extremidade (borda de fuga) de uma placa plana de extensão x=5\\ \mathrm{m} para duas velocidades do escoamento: U=1\\ \mathrm{m/s} e U=5\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos:
  • \mu=3,56\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} (viscosidade dinâmica);
  • \rho=853,9\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade);
  • extensão da placa: x=5\\ \mathrm{m};
  • fórmula empírica dada para a espessura da camada limite:
\delta=0,38\,\frac{x}{\mathrm{Re}_{x}^{0,2}}
onde \mathrm{Re}_{x} é o número de Reynolds local no comprimento x.
As respostas pedidas são: a espessura \delta em x=5\\ \mathrm{m} para U=1\\ \mathrm{m/s} e para U=5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Explicação das grandezas e das fórmulas (passo-a-passo didático, como se estivéssemos estudando juntos).
  • O número de Reynolds local para um escoamento sobre placa plana vale
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U\,x}{\nu},
onde U é a velocidade livre longe da placa, x é a distância a partir da borda de ataque (aqui x=5\\ \mathrm{m}) e \nu é a viscosidade cinemática do fluido.
  • A viscosidade cinemática \nu é definida por
\nu=\frac{\mu}{\rho},
onde \mu é a viscosidade dinâmica e \rho a densidade. A unidade de \nu é \mathrm{m^{2}/s}.
  • A fórmula \delta=0,38\,x/\mathrm{Re}_{x}^{0,2} é uma correlação empírica (usada para camada limite turbulenta sobre placa plana) que fornece uma estimativa da espessura efetiva da camada limite. Ela exige o cálculo de \mathrm{Re}_{x} e em seguida a potência 0,2 (ou quinta raiz). Vou aplicar essa fórmula exatamente como dada, mas vale notar que há uma faixa de validade: essa expressão é adequada para escoamento turbulento plenamente desenvolvido; o número de Reynolds de transição em placas costuma ficar da ordem de \mathrm{Re}_{x}\sim5\times10^{5}. Se \mathrm{Re}_{x} for muito menor que isso, o escoamento pode ser laminar e outra fórmula seria mais apropriada. Ainda assim, executar o cálculo pedido com a correlação dada.

Passo 3

Calcular a viscosidade cinemática \nu.
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{3,56\times10^{-2}}{853,9}\\ \mathrm{m^{2}/s}
Agora a divisão numérica:
\nu\approx 4,17\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
(Arredondei para três algarismos significativos; isto é suficiente para os cálculos seguintes.)

Passo 4

Caso U=1\\ \mathrm{m/s}.
  1. Calcular \mathrm{Re}_{x}:
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U\,x}{\nu}=\frac{1\cdot 5}{4,17\times10^{-5}}
\mathrm{Re}_{x}\approx 1,199\times10^{5}.
  1. Calcular \mathrm{Re}_{x}^{0,2}. É útil usar a decomposição \mathrm{Re}_{x}=1,199\times10^{5}=1,199\cdot10^{5}, porque 10^{5} à potência 0,2 10. Assim:
\mathrm{Re}_{x}^{0,2}=10\cdot(1,199)^{0,2}.
Calculemos (1,199)^{0,2} via logaritmo:
(1,199)^{0,2}=\exp\!\big(0,2\ln(1,199)\big)\approx\exp(0,03634)\approx1,0370.
Portanto
\mathrm{Re}_{x}^{0,2}\approx 10{,}37.
  1. Agora aplicar a correlação para \delta:
\delta=0,38\,\frac{x}{\mathrm{Re}_{x}^{0,2}}=0,38\frac{5}{10{,}37}
\delta\approx\frac{1{,}9}{10{,}37}\approx0,183\\ \mathrm{m}.
Comentário: \mathrm{Re}_{x}\approx1,20\times10^{5} é menor que o valor típico de transição \sim5\times10^{5}. Ou seja, para U=1\\ \mathrm{m/s} o escoamento provavelmente está laminar, então a correlação turbulenta usada pode não ser a mais adequada — mas o enunciado forneceu a fórmula, então este é o valor estimado por essa correlação.

Passo 5

Caso U=5\\ \mathrm{m/s}.
  1. Calcular \mathrm{Re}_{x}:
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U\,x}{\nu}=\frac{5\cdot 5}{4,17\times10^{-5}}
\mathrm{Re}_{x}\approx 5,995\times10^{5}.
  1. Calcular \mathrm{Re}_{x}^{0,2}. Usando a mesma ideia:
\mathrm{Re}_{x}^{0,2}=10\cdot(5,995)^{0,2}.
Calculemos (5,995)^{0,2} via logaritmo:
(5,995)^{0,2}=\exp\!\big(0,2\ln(5,995)\big)\approx\exp(0,35836)\approx1,4314.
Portanto
\mathrm{Re}_{x}^{0,2}\approx 14{,}314.
  1. Aplicar a correlação:
\delta=0,38\,\frac{x}{\mathrm{Re}_{x}^{0,2}}=0,38\frac{5}{14{,}314}
\delta\approx\frac{1{,}9}{14{,}314}\approx0,133\\ \mathrm{m}.
Comentário: \mathrm{Re}_{x}\approx6,0\times10^{5} é maior que o valor típico de transição, logo a correlação turbulenta é mais apropriada aqui. Observa-se que aumentando a velocidade a espessura da camada limite diminui (a camada fica mais fina).

Passo 6

Resumo interpretativo e dicas rápidas para prova:
  • Para aplicar a fórmula dada, primeiro calcular \nu=\mu/\rho, depois \mathrm{Re}_{x}=Ux/\nu e então \mathrm{Re}_{x}^{0,2}. A potência 0,2 é a quinta raiz; às vezes é prático decompor \mathrm{Re}_{x} como a\cdot10^{5} para tirar vantagem de 10^{5\times0,2}=10.
  • Atenção à validade: a correlação apresentada é empírica para camada limite turbulenta; se \mathrm{Re}_{x} for menor que a faixa de transição, usar correlações laminares (por exemplo \delta\sim5{,}0\,x/\sqrt{\mathrm{Re}_{x}} para laminar) pode ser mais correto. Mesmo assim, aqui apliquei exatamente a fórmula do enunciado.

Resposta

\delta\,(U=1\\ \mathrm{m/s})\approx0,183\\ \mathrm{m}
\delta\,(U=5\\ \mathrm{m/s})\approx0,133\\ \mathrm{m}

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