Óleo de motor escoa sobre uma placa plana a
. A extensão da placa é de 5 m . Determine a espessura da camada limite na borda de fuga da placa. Repita o cálculo para a velocidade de
. Dados:
e
Dado:
Passo 1
O problema pede para calcular a espessura da camada limite na extremidade (borda de fuga) de uma placa plana de extensão
para duas velocidades do escoamento:
e
. Dados fornecidos:
-
(viscosidade dinâmica); -
(densidade); - extensão da placa:
; - fórmula empírica dada para a espessura da camada limite:
onde
é o número de Reynolds local no comprimento
.
As respostas pedidas são: a espessura
em
para
e para
.
Passo 2
Explicação das grandezas e das fórmulas (passo-a-passo didático, como se estivéssemos estudando juntos).
- O número de Reynolds local para um escoamento sobre placa plana vale
onde
é a velocidade livre longe da placa,
é a distância a partir da borda de ataque (aqui
) e
é a viscosidade cinemática do fluido.
- A viscosidade cinemática
é definida por
onde
é a viscosidade dinâmica e
a densidade. A unidade de
é
.
- A fórmula
é uma correlação empírica (usada para camada limite turbulenta sobre placa plana) que fornece uma estimativa da espessura efetiva da camada limite. Ela exige o cálculo de e em seguida a potência (ou quinta raiz). Vou aplicar essa fórmula exatamente como dada, mas vale notar que há uma faixa de validade: essa expressão é adequada para escoamento turbulento plenamente desenvolvido; o número de Reynolds de transição em placas costuma ficar da ordem de . Se for muito menor que isso, o escoamento pode ser laminar e outra fórmula seria mais apropriada. Ainda assim, executar o cálculo pedido com a correlação dada.
Passo 3
Calcular a viscosidade cinemática
.
Agora a divisão numérica:
(Arredondei para três algarismos significativos; isto é suficiente para os cálculos seguintes.)
Passo 4
Caso
.
- Calcular
:
- Calcular
. É útil usar a decomposição , porque à potência dá . Assim:
Calculemos
via logaritmo:
Portanto
- Agora aplicar a correlação para
:
Comentário:
é menor que o valor típico de transição
. Ou seja, para
o escoamento provavelmente está laminar, então a correlação turbulenta usada pode não ser a mais adequada — mas o enunciado forneceu a fórmula, então este é o valor estimado por essa correlação.
Passo 5
Caso
.
- Calcular
:
- Calcular
. Usando a mesma ideia:
Calculemos
via logaritmo:
Portanto
- Aplicar a correlação:
Comentário:
é maior que o valor típico de transição, logo a correlação turbulenta é mais apropriada aqui. Observa-se que aumentando a velocidade a espessura da camada limite diminui (a camada fica mais fina).
Passo 6
Resumo interpretativo e dicas rápidas para prova:
- Para aplicar a fórmula dada, primeiro calcular
, depois e então . A potência é a quinta raiz; às vezes é prático decompor como para tirar vantagem de . - Atenção à validade: a correlação apresentada é empírica para camada limite turbulenta; se
for menor que a faixa de transição, usar correlações laminares (por exemplo para laminar) pode ser mais correto. Mesmo assim, aqui apliquei exatamente a fórmula do enunciado.