O ar escoa sob uma placa plana a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere \mathrm{L}=0,5 \mathrm{~m} (comprimento da Placa) e a largura da placa como 1 m . Se a velocidade duplicar, determine o aumento percentual na força de arrasto. Dados: \mu=1,8510^{-5} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e \rho=1,177 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Formulas para o Coeficiente de Arrasto ( \mathbf{C}_{\mathbf{f}} ou \mathbf{C}_{\mathbf{D}} ):
Para \mathrm{L} \gg \mathrm{X}_{\mathrm{T}} \rightarrow \mathrm{C}_{\mathrm{f}}=0,073 \mathrm{Re}^{-0,2}
para L \cong x_{t}\left(L<3 . x_{t}\right) \rightarrow C_{f}=\frac{0,073}{R e_{L}^{0,2}}-\frac{1700}{R e_{L}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Velocidade inicial: U_1 = 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade final (duplicada): U_2 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento da placa: L = 0,5\\ \mathrm{m}.
  • Largura da placa (para área): b = 1\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 1,85\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} (peguei do enunciado).
  • Densidade: \rho = 1,177\\ \mathrm{kg/m^{3}} (peguei do enunciado).
  • Fórmulas dadas para o coeficiente de atrito médio sobre a placa:
    • \displaystyle C_f = 0,073\,\mathrm{Re}^{-0,2} quando \,L \gg x_t.
    • \displaystyle C_f = \frac{0,073}{\mathrm{Re}_L^{0,2}} - \frac{1700}{\mathrm{Re}_L} quando L\cong x_t (ou L<3x_t).
  • Pedido: determinar o aumento percentual na força de arrasto quando a velocidade duplica.

Passo 2

Plano de ataque — o que vamos fazer (explicando a física e fórmulas usadas):
  • A força de arrasto por atrito de película sobre a placa plana pode ser escrita como
F = C_f\cdot\frac{1}{2}\rho U^{2} A,
onde A é a área da placa exposta ao escoamento (plano de referência): aqui A=L\cdot b.
  • Ao duplicar a velocidade, U^{2} multiplica por 4, mas o coeficiente C_f também muda porque depende do número de Reynolds baseado em L:
\mathrm{Re}_L=\frac{\rho U L}{\mu}.
  • Logo a razão das forças será
\frac{F_2}{F_1}=\frac{C_{f,2}\,U_2^{2}}{C_{f,1}\,U_1^{2}}=4\cdot\frac{C_{f,2}}{C_{f,1}}.
  • Precisamos então calcular \mathrm{Re}_{L} para U_1 e U_2, decidir qual expressão de C_f aplicar (usando estimativa do ponto de transição x_t) e calcular C_{f,1} e C_{f,2}. Finalmente calculamos o aumento percentual \bigl(\tfrac{F_2-F_1}{F_1}\bigr)\cdot100\%.

Passo 3

Calcular a viscosidade cinemática e os números de Reynolds:
  • Viscosidade cinemática: \nu=\dfrac{\mu}{\rho}.
\nu=\frac{1,85\times10^{-5}}{1,177}=1,57\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}\quad(\text{aprox.})
  • Reynolds baseado em L:
\mathrm{Re}_{L,1}=\frac{\rho U_1 L}{\mu}=\frac{1,177\cdot10\cdot0,5}{1,85\times10^{-5}}=318{,}1\times10^{3}\approx3,18\times10^{5}.
\mathrm{Re}_{L,2}=\frac{\rho U_2 L}{\mu}=2\cdot\mathrm{Re}_{L,1}\approx6,36\times10^{5}.

Passo 4

Determinar regime de escoamento e qual fórmula de C_f usar (explicando a ideia do ponto de transição):
  • O ponto de transição do escoamento laminar para turbulento numa placa plana costuma ocorrer quando o número de Reynolds local \mathrm{Re}_x atinge um valor crítico da ordem de 5\times10^{5} (valor prático usado em provas e textos).
  • Assim podemos estimar a posição de transição x_t por \mathrm{Re}_{x_t}\approx5\times10^{5}\Rightarrow x_t\approx\frac{5\times10^{5}\,\nu}{U}.
  • Calcular x_t para cada velocidade:
x_{t,1}=\frac{5\times10^{5}\cdot\nu}{U_1}=\frac{5\times10^{5}\cdot1,57\times10^{-5}}{10}\approx0,79\\ \mathrm{m}.
x_{t,2}=\frac{5\times10^{5}\cdot\nu}{U_2}=\frac{5\times10^{5}\cdot1,57\times10^{-5}}{20}\approx0,39\\ \mathrm{m}.
  • Comparando com L=0,5\\ \mathrm{m}:
    • Para U_1=10\\ \mathrm{m/s} temos L(0,5)<x_{t,1}(0,79): a placa está totalmente antes do ponto crítico → escoamento essencialmente laminar (ou ainda não transicionado).
    • Para U_2=20\\ \mathrm{m/s} temos x_{t,2}\approx0,39< L=0,5 < 3x_{t,2}: existe transição ao longo da placa, e L não é muito maior que x_t.
  • Portanto, para ambos os casos a expressão apropriada das dadas no enunciado é a segunda (a que contém a correção -1700/\mathrm{Re}_L):
C_f=\frac{0,073}{\mathrm{Re}_L^{0,2}}-\frac{1700}{\mathrm{Re}_L}.

Passo 5

Calcular C_{f,1} e C_{f,2} passo a passo (mostrando como se avalia potências e termos):
  • Para U_1 ( \mathrm{Re}_{L,1}\approx3{,}18108\times10^{5}):
    • Calcular \mathrm{Re}_{L,1}^{0,2} (que é a quinta raiz): numericamente usa-se logaritmo ou uma calculadora; aqui exponencio:
    \mathrm{Re}_{L,1}^{0,2}\approx 12{,}61\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_{L,1}^{-0,2}\approx0{,}0793.
    • Primeiro termo: 0,073\cdot\mathrm{Re}_{L,1}^{-0,2}\approx0,073\cdot0,0793=0,00579.
    • Segundo termo: \dfrac{1700}{\mathrm{Re}_{L,1}}\approx\dfrac{1700}{3{,}18\times10^{5}}=0,00534.
    • Subtraindo:
    C_{f,1}\approx0,00579-0,00534=4,45\times10^{-4}.
  • Para U_2 ( \mathrm{Re}_{L,2}\approx6{,}36216\times10^{5}):
    • \mathrm{Re}_{L,2}^{0,2}\approx14{,}49\quad\Rightarrow\quad \mathrm{Re}_{L,2}^{-0,2}\approx0{,}0690.
    • Primeiro termo: 0,073\cdot0,0690=0,00504.
    • Segundo termo: \dfrac{1700}{\mathrm{Re}_{L,2}}\approx\dfrac{1700}{6{,}36\times10^{5}}=0,00267.
    • Subtraindo:
    C_{f,2}\approx0,00504-0,00267=2,37\times10^{-3}.
(Observação didática: a potência \mathrm{Re}^{-0,2} significa \dfrac{1}{\mathrm{Re}^{0,2}}; valores numéricos foram arredondados para 3 algarismos significativos nas etapas intermediárias.)

Passo 6

Calcular a razão de forças e o aumento percentual:
  • Razão das forças:
\frac{F_2}{F_1}=4\cdot\frac{C_{f,2}}{C_{f,1}}=4\cdot\frac{2{,}37\times10^{-3}}{4{,}45\times10^{-4}}\approx4\cdot5{,}33\approx21{,}3.
  • Aumento percentual (diferença relativa em relação a F_1):
\text{Aumento percentual}=\left(\frac{F_2}{F_1}-1\right)\cdot100\%\approx(21{,}3-1)\cdot100\%=20{,}3\times10^{2}\%\approx2{,}03\times10^{3}\%.
Interpretação curta: a força de arrasto aumenta em um fator da ordem de 21 quando a velocidade dobra, porque além do termo quadrático U^{2} (que daria só 4 vezes), o coeficiente de atrito C_f sobe muito ao entrar em um regime parcialmente turbulento na placa.

Resposta

2{,}03\times10^{3}\%

Exercícios relacionados