O ar escoa sob uma placa plana a
. Considere
(comprimento da Placa) e a largura da placa como 1 m . Se a velocidade duplicar, determine o aumento percentual na força de arrasto. Dados:
e
Formulas para o Coeficiente de Arrasto (
ou
):
Para
para
para
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
- Velocidade inicial:
. - Velocidade final (duplicada):
. - Comprimento da placa:
. - Largura da placa (para área):
. - Viscosidade dinâmica:
(peguei do enunciado). - Densidade:
(peguei do enunciado). - Fórmulas dadas para o coeficiente de atrito médio sobre a placa:
-
quando . -
quando (ou ).
-
- Pedido: determinar o aumento percentual na força de arrasto quando a velocidade duplica.
Passo 2
Plano de ataque — o que vamos fazer (explicando a física e fórmulas usadas):
- A força de arrasto por atrito de película sobre a placa plana pode ser escrita como
onde
é a área da placa exposta ao escoamento (plano de referência): aqui
.
- Ao duplicar a velocidade,
multiplica por , mas o coeficiente também muda porque depende do número de Reynolds baseado em :
- Logo a razão das forças será
- Precisamos então calcular
para e , decidir qual expressão de aplicar (usando estimativa do ponto de transição ) e calcular e . Finalmente calculamos o aumento percentual .
Passo 3
Calcular a viscosidade cinemática e os números de Reynolds:
- Viscosidade cinemática:
.
- Reynolds baseado em
:
Passo 4
Determinar regime de escoamento e qual fórmula de
usar (explicando a ideia do ponto de transição):
- O ponto de transição do escoamento laminar para turbulento numa placa plana costuma ocorrer quando o número de Reynolds local
atinge um valor crítico da ordem de (valor prático usado em provas e textos). - Assim podemos estimar a posição de transição
por . - Calcular
para cada velocidade:
- Comparando com
: - Para
temos : a placa está totalmente antes do ponto crítico → escoamento essencialmente laminar (ou ainda não transicionado). - Para
temos : existe transição ao longo da placa, e não é muito maior que .
- Para
- Portanto, para ambos os casos a expressão apropriada das dadas no enunciado é a segunda (a que contém a correção
):
Passo 5
Calcular
e
passo a passo (mostrando como se avalia potências e termos):
-
Para
( ): - Calcular
(que é a quinta raiz): numericamente usa-se logaritmo ou uma calculadora; aqui exponencio:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Subtraindo:
- Calcular
-
Para
( ): -
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Subtraindo:
-
(Observação didática: a potência
significa
; valores numéricos foram arredondados para 3 algarismos significativos nas etapas intermediárias.)
Passo 6
Calcular a razão de forças e o aumento percentual:
- Razão das forças:
- Aumento percentual (diferença relativa em relação a
):
Interpretação curta: a força de arrasto aumenta em um fator da ordem de 21 quando a velocidade dobra, porque além do termo quadrático
(que daria só 4 vezes), o coeficiente de atrito
sobe muito ao entrar em um regime parcialmente turbulento na placa.