Considere uma placa plana de vidro de espessura \mathbf{L}=1 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathbf{K}_{\mathrm{v}} =0,78 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right). A superfície esquerda é mantida à temperatura \mathrm{T}_{0}=25^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superfície direita permanece com temperatura \mathbf{T}_{\mathbf{L}}=10^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de calor que atravessa a placa de vidro.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma taxa de calor que atravessa a placa:
\;L=1\\ \mathrm{cm} (espessura da placa),
\;K_{\mathrm{v}}=0,78\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}) (condutividade térmica do vidro),
\;T_0=25^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície esquerda),
\;T_L=10^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície direita).
Observação importante: o enunciado não informa a área da placa A. Portanto não é possível dar um valor absoluto de potência ( \mathrm{W}) sem essa área. Vou calcular a taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor), ou seja, a potência por metro quadrado ( \mathrm{W/m^2}). Se você souber A, multiplica o resultado por A para obter a potência total.

Passo 2

Vamos usar a lei básica que relaciona fluxo térmico com gradiente de temperatura e condutividade. A fórmula (em forma verbal) diz que o fluxo de calor por unidade de área é proporcional à condutividade vezes o gradiente de temperatura. Em notação:
q'' = -K\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • \;q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W/m^2});
  • \;K é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}));
  • \;dT/dx é a derivada da temperatura em relação à coordenada espacial x (o gradiente de temperatura);
  • o sinal negativo indica que o calor flui do lado mais quente para o mais frio (ou seja, contra o aumento de T).

Passo 3

No caso estacionário e unidimensional, com condutividade constante, a temperatura varia linearmente entre as faces. Assim o gradiente pode ser escrito como diferença de temperaturas dividida pela espessura:
\frac{dT}{dx} = \frac{T_L - T_0}{L}.
Substituindo na equação do passo anterior:
q'' = -K\,\frac{T_L - T_0}{L} = K\,\frac{T_0 - T_L}{L}.
Essa última forma é mais intuitiva: o fluxo tem magnitude proporcional à diferença de temperatura (T_0-T_L) e aponta do lado quente para o frio.

Passo 4

Agora substituímos os valores dados. Primeiro convertemos a espessura para metros:
L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura é
T_0-T_L = 25^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=15^\circ\mathrm{C}.
Aplicando a fórmula:
q'' = K_{\mathrm{v}}\frac{T_0-T_L}{L} =0,78\cdot\frac{15}{0,01}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{15}{0,01}=1500 e \;0,78\cdot1500=1170. Portanto
q'' = 1170\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Interpretação e como usar na prova:
  • O valor q''=1170\\ \mathrm{W/m^2} é a taxa de calor por unidade de área atravessando a placa, do lado esquerdo (mais quente) para o direito (mais frio).
  • Se você souber a área da placa A, a taxa de calor total (potência) é
\dot{Q} = q''\cdot A = 1170\cdot A\quad (\mathrm{W}).
Exemplo rápido: se A=1\\ \mathrm{m^2}, então \dot{Q}=1170\\ \mathrm{W}.

Resposta

\;q'' = 1170\\ \mathrm{W/m^2}

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