Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por \vec{u}=\left(u_{r}, u_{\theta}, u_{z}\right). Se os componentes de velocidade são u_{r}=\left(2-\frac{8}{r^{2}}\right) \cos \theta, u_{\theta}=-\left(2+\frac{8}{r^{2}}\right) \sin \theta, e u_{z}=0 \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
a) Escrever o gradiente, o divergente e o rotacional da velocidade.
b) Calcular o gradiente, o divergente e o rotacional da velocidade em \vec{x}=\left(2 m, 225^{\circ}, 1 m\right).
c) Fazer um gráfico do campo de velocidade no plano z=1 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas e pede três coisas: (a) escrever o gradiente (o tensor gradiente da velocidade), o divergente (escala) e o rotacional (vetor) da velocidade; (b) calcular esses mesmos objetos no ponto \vec{x}=(2\\ \text{m},\\\ 225^\circ,\\\ 1\\ \text{m}); (c) fazer um gráfico do campo no plano z=1\\ \text{m}.
Pontos importantes para a resolução (apenas listagem; não vou resolver aqui):
Precisamos das fórmulas dos operadores diferenciais em coordenadas cilíndricas (gradiente de um campo vetorial, divergente e rotacional).
Depois temos que calcular derivadas parciais de u_r e u_\theta em r e \theta, e avaliar no ponto pedido.
Para o gráfico, precisamos converter para componentes cartesianas (ou usar plot em polares) e indicar um método/prática para gerar o gráfico.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vamos usar em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com base ortonormal (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z). Isso é importante porque em coordenadas curvilíneas aparecem termos extras com 1/r. Vou escrever as fórmulas e explicar o que é cada termo.
Divergente de um campo \mathbf{u}=u_r\mathbf{e}_r+u_\theta\mathbf{e}_\theta+u_z\mathbf{e}_z:
Explicação: o primeiro termo trata da variação radial incluindo o fator de área r, o segundo é a derivada angular dividida por r, e o terceiro é a derivada vertical usual.
Rotacional (curl) em coordenadas cilíndricas, componentes na base (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z):
Explicação: cada entrada (i,j) diz como a componente i da velocidade muda na direção j. Os termos com 1/r e os termos com u_\theta/r ou u_r/r surgem por causa das variações da base unitária em \theta.]
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias a partir das expressões dadas. Para facilitar, defino
Comentário pedagógico: aqui foi só aplicar derivadas de produto (A(r)\cos\theta) e regra da potência em r^{-2}. Anote que r e \theta são independentes, por isso \partial/\partial r trata \theta como constante.
Passo 4
Substituímos essas derivadas nas fórmulas do Gradiente para escrever \nabla\mathbf{u} (forma geral, função de r,\theta).
Comentário didático: a estrutura é bonita — só depende de r^{-3} e das funções trigonométricas; as componentes misturam \cos\theta e \sin\theta de forma simétrica.]
Passo 5
Agora usamos a fórmula do divergente com as derivadas do passo 3. Lembremos:
Interpretação: o campo é irrotacional (\nabla\times\mathbf{u}=0) em todo o domínio. Juntando com divergente zero, é um campo potencial incompressível (localmente pode ser representado por gradiente de um potencial harmônico, dependendo do domínio).
Passo 7
Agora avaliamos as expressões no ponto pedido \vec{x}=(2\\ \text{m},\\\ 225^\circ,\\\ 1\\ \text{m}). Primeiro convertemos trigonometria:
Comentário: como verificado globalmente, divergente e rotacional são zero em todo ponto; o gradiente tem entradas não-nulas indicativas de deformação local.]
Passo 8
Para completar a parte (c) — gráfico no plano z=1 — vou dar instruções claras e um código de exemplo (autoexplicativo) para você gerar um gráfico com Python/matplotlib (ou qualquer ferramenta similar). Antes, explico como converter as componentes cilíndricas para cartesianas, que é necessário para plotar em x,y.
No nosso caso, \;u_r=\left(2-\tfrac{8}{r^{2}}\right)\cos\theta,\; u_\theta=-\left(2+\tfrac{8}{r^{2}}\right)\sin\theta.
Sugestão prática para o gráfico (script de exemplo em Python usando numpy e matplotlib). Este código plota vetores (quiver) e linhas de corrente (streamplot) no plano z=1. Copie e execute num ambiente Python com essas bibliotecas.
(Obs.: aqui o trecho é código; as expressões matemáticas usadas dentro do comentário seguem as fórmulas já escritas acima.)
Exemplo de código (Python):
‘’’
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
domínio em coordenadas cartesianas
x = np.linspace(-4, 4, 201)
y = np.linspace(-4, 4, 201)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Ux = Ur * np.cos(Theta) - Utheta * np.sin(Theta)
Uy = Ur * np.sin(Theta) + Utheta * np.cos(Theta)
máscara para r muito pequeno (opcional)
mask = R > 0.2
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.streamplot(X[mask], Y[mask], Ux[mask], Uy[mask], density=1.2, linewidth=1, arrowsize=1)
plt.quiver(X[::10,::10], Y[::10,::10], Ux[::10,::10], Uy[::10,::10], scale=20)
plt.xlabel(‘x (m)’)
plt.ylabel(‘y (m)’)
plt.title(‘Campo de velocidade no plano z=1 m’)
plt.axis(‘equal’)
plt.grid(True)
plt.show()
‘’’
Explicação rápida do que o código faz:
Cria uma malha em x,y e converte para r,\theta.
Avalia u_r e u_\theta nas fórmulas dadas.
Converte para (u_x,u_y) e plota linhas de corrente (streamplot) e alguns vetores (quiver).
Recomendo limitar a região próxima a r=0 porque há termos em 1/r^2 que explodem na origem; usar uma máscara ou evitar pontos muito próximos de r=0.
Dica motivadora: não se assuste com a singularidade em r=0 — na prova você normalmente não precisa desenhar o comportamento exatamente na origem, apenas entender a forma do campo em regiões onde r\neq 0.
Resposta
(a) Gradiente (tensor) geral, divergente geral e rotacional geral: