Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por \vec{u}=\left(u_{r}, u_{\theta}, u_{z}\right). Se os componentes de velocidade são u_{r}=\left(2-\frac{8}{r^{2}}\right) \cos \theta, u_{\theta}=-\left(2+\frac{8}{r^{2}}\right) \sin \theta, e u_{z}=0 \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
a) Escrever o gradiente, o divergente e o rotacional da velocidade.
b) Calcular o gradiente, o divergente e o rotacional da velocidade em \vec{x}=\left(2 m, 225^{\circ}, 1 m\right).
c) Fazer um gráfico do campo de velocidade no plano z=1 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas e pede três coisas: (a) escrever o gradiente (o tensor gradiente da velocidade), o divergente (escala) e o rotacional (vetor) da velocidade; (b) calcular esses mesmos objetos no ponto \vec{x}=(2\\ \text{m},\\\ 225^\circ,\\\ 1\\ \text{m}); (c) fazer um gráfico do campo no plano z=1\\ \text{m}.
Informações fornecidas (relevantes):
u_r=\left(2-\frac{8}{r^{2}}\right)\cos\theta,
u_\theta=-\left(2+\frac{8}{r^{2}}\right)\sin\theta,
u_z=0.
Pontos importantes para a resolução (apenas listagem; não vou resolver aqui):
  • Precisamos das fórmulas dos operadores diferenciais em coordenadas cilíndricas (gradiente de um campo vetorial, divergente e rotacional).
  • Depois temos que calcular derivadas parciais de u_r e u_\theta em r e \theta, e avaliar no ponto pedido.
  • Para o gráfico, precisamos converter para componentes cartesianas (ou usar plot em polares) e indicar um método/prática para gerar o gráfico.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com base ortonormal (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z). Isso é importante porque em coordenadas curvilíneas aparecem termos extras com 1/r. Vou escrever as fórmulas e explicar o que é cada termo.
Divergente de um campo \mathbf{u}=u_r\mathbf{e}_r+u_\theta\mathbf{e}_\theta+u_z\mathbf{e}_z:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{1}{r}\frac{\partial (r u_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}.
Explicação: o primeiro termo trata da variação radial incluindo o fator de área r, o segundo é a derivada angular dividida por r, e o terceiro é a derivada vertical usual.
Rotacional (curl) em coordenadas cilíndricas, componentes na base (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z):
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta}-\frac{\partial u_\theta}{\partial z},
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_\theta=\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial r},
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_z=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r u_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right).
Explicação: a componente z é a mais usada em escoamentos planos; note o termo \partial (r u_\theta)/\partial r que aparece pela curvatura do sistema.
Gradiente do campo vetorial (tensor \nabla\mathbf{u}) em forma matricial na base (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z):
\displaystyle \nabla\mathbf{u}= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial u_r}{\partial r} & \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_\theta}{r} & \displaystyle\frac{\partial u_r}{\partial z}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u_\theta}{\partial r} & \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{u_r}{r} & \displaystyle\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial r} & \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta} & \displaystyle\frac{\partial u_z}{\partial z} \end{pmatrix}.
Explicação: cada entrada (i,j) diz como a componente i da velocidade muda na direção j. Os termos com 1/r e os termos com u_\theta/r ou u_r/r surgem por causa das variações da base unitária em \theta.]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias a partir das expressões dadas. Para facilitar, defino
\displaystyle A(r)=2-\frac{8}{r^2},\qquad B(r)=2+\frac{8}{r^2}.
Então u_r=A(r)\cos\theta e u_\theta=-B(r)\sin\theta.
Derivadas em relação a r:
\displaystyle A'(r)=\frac{d}{dr}\!\left(2-8r^{-2}\right)=16r^{-3},
\displaystyle B'(r)=\frac{d}{dr}\!\left(2+8r^{-2}\right)=-16r^{-3}.
Derivadas das componentes:
\displaystyle \frac{\partial u_r}{\partial r}=A'(r)\cos\theta=16r^{-3}\cos\theta,
\displaystyle \frac{\partial u_r}{\partial\theta}=A(r)(-\sin\theta)=-(2-\tfrac{8}{r^2})\sin\theta,
\displaystyle \frac{\partial u_r}{\partial z}=0,
\displaystyle \frac{\partial u_\theta}{\partial r}=-B'(r)\sin\theta=16r^{-3}\sin\theta,
\displaystyle \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-B(r)\cos\theta=-(2+\tfrac{8}{r^2})\cos\theta,
\displaystyle \frac{\partial u_\theta}{\partial z}=0,
\displaystyle \frac{\partial u_z}{\partial r}=\frac{\partial u_z}{\partial\theta}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=0.
Comentário pedagógico: aqui foi só aplicar derivadas de produto ( A(r)\cos\theta) e regra da potência em r^{-2}. Anote que r e \theta são independentes, por isso \partial/\partial r trata \theta como constante.

Passo 4

Substituímos essas derivadas nas fórmulas do Gradiente para escrever \nabla\mathbf{u} (forma geral, função de r,\theta).
Usando a matriz do passo 2, os elementos ficam:
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{rr}=\frac{\partial u_r}{\partial r}=16r^{-3}\cos\theta,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{r\theta}=\frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}-\frac{u_\theta}{r} =\frac{1}{r}\big[-(2-\tfrac{8}{r^2})\sin\theta\big]-\frac{- (2+\tfrac{8}{r^2})\sin\theta}{r},
simplificando:
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{r\theta}=\frac{(2+\tfrac{8}{r^2})-(2-\tfrac{8}{r^2})}{r}\sin\theta =16r^{-3}\sin\theta.
Continuando,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{rz}=0,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{\theta r}=\frac{\partial u_\theta}{\partial r}=16r^{-3}\sin\theta,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{\theta\theta}=\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{u_r}{r} =\frac{1}{r}\big[-(2+\tfrac{8}{r^2})\cos\theta\big]+\frac{(2-\tfrac{8}{r^2})\cos\theta}{r},
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{\theta\theta}=-16r^{-3}\cos\theta,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{\theta z}=0,
\displaystyle (\nabla\mathbf{u})_{zr}=(\nabla\mathbf{u})_{z\theta}=(\nabla\mathbf{u})_{zz}=0.
Portanto, a expressão geral (na base \{\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_z\}) do tensor gradiente é
\displaystyle \nabla\mathbf{u}= \begin{pmatrix} 16r^{-3}\cos\theta & 16r^{-3}\sin\theta & 0\\[4pt] 16r^{-3}\sin\theta & -16r^{-3}\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Comentário didático: a estrutura é bonita — só depende de r^{-3} e das funções trigonométricas; as componentes misturam \cos\theta e \sin\theta de forma simétrica.]

Passo 5

Agora usamos a fórmula do divergente com as derivadas do passo 3. Lembremos:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=\frac{1}{r}\frac{\partial (r u_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}.
Calculemos cada parte:
\displaystyle \frac{\partial (r u_r)}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\big(r A(r)\cos\theta\big)=(A(r)+rA'(r))\cos\theta.
Substituindo A e A':
\displaystyle A(r)+rA'(r)=\left(2-\frac{8}{r^2}\right)+r\cdot 16r^{-3}=2-\frac{8}{r^2}+16r^{-2}=2+\frac{8}{r^2}.
Logo
\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial (r u_r)}{\partial r}=\left(\frac{2}{r}+8r^{-3}\right)\cos\theta.
E o segundo termo:
\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=\frac{1}{r}\big[-(2+\tfrac{8}{r^2})\cos\theta\big]=-\left(\frac{2}{r}+8r^{-3}\right)\cos\theta.
Somando tudo (e lembrando \partial u_z/\partial z=0) chegamos a
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=0.
Interpretação: o campo é incompressível (divergente zero) em todo o domínio.

Passo 6

Agora calculemos o rotacional usando as fórmulas do passo 2 e as derivadas do passo 3.
Componentes:
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta}-\frac{\partial u_\theta}{\partial z}=0,
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_\theta=\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial r}=0,
\displaystyle (\nabla\times\mathbf{u})_z=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r u_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial u_r}{\partial\theta}\right).
Calculemos o termo dentro dos parênteses para a componente z:
\displaystyle \frac{\partial (r u_\theta)}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\big(-rB(r)\sin\theta\big)=-(B(r)+rB'(r))\sin\theta.
Mas
\displaystyle B(r)+rB'(r)=\left(2+\frac{8}{r^2}\right)+r(-16r^{-3})=2+\frac{8}{r^2}-\frac{16}{r^2}=2-\frac{8}{r^2}=A(r).
Então
\displaystyle \frac{\partial (r u_\theta)}{\partial r}=-A(r)\sin\theta.
E lembrando \frac{\partial u_r}{\partial\theta}=-A(r)\sin\theta, temos
\displaystyle \frac{\partial (r u_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial u_r}{\partial\theta} = -A(r)\sin\theta - (-A(r)\sin\theta)=0.
Portanto
\displaystyle \nabla\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Interpretação: o campo é irrotacional ( \nabla\times\mathbf{u}=0) em todo o domínio. Juntando com divergente zero, é um campo potencial incompressível (localmente pode ser representado por gradiente de um potencial harmônico, dependendo do domínio).

Passo 7

Agora avaliamos as expressões no ponto pedido \vec{x}=(2\\ \text{m},\\\ 225^\circ,\\\ 1\\ \text{m}). Primeiro convertemos trigonometria:
\displaystyle \theta=225^\circ\Rightarrow \cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
E r=2\Rightarrow r^{-3}=\tfrac{1}{8}.
Prefator comum em muitas componentes do gradiente:
\displaystyle 16r^{-3}=16\cdot\tfrac{1}{8}=2.
Usando a matriz do passo 4, o gradiente no ponto é
\displaystyle \nabla\mathbf{u}\Big|_{(r=2,\theta=225^\circ)} = \begin{pmatrix} 2\cos\theta & 2\sin\theta & 0\\[4pt] 2\sin\theta & -2\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Substituindo \cos\theta=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\theta=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}:
\displaystyle \nabla\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}= \begin{pmatrix} -\,\sqrt{2} & -\,\sqrt{2} & 0\\[4pt] -\,\sqrt{2} & +\,\sqrt{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Se quiser em valores decimais aproximados: \sqrt{2}\approx 1{,}4142, então a matriz é aproximadamente
\begin{pmatrix} -1{,}4142 & -1{,}4142 & 0\\[4pt] -1{,}4142 & +1{,}4142 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Divergente no ponto:
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}=0.
Rotacional no ponto:
\displaystyle \nabla\times\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}=\mathbf{0}.
Comentário: como verificado globalmente, divergente e rotacional são zero em todo ponto; o gradiente tem entradas não-nulas indicativas de deformação local.]

Passo 8

Para completar a parte (c) — gráfico no plano z=1 — vou dar instruções claras e um código de exemplo (autoexplicativo) para você gerar um gráfico com Python/matplotlib (ou qualquer ferramenta similar). Antes, explico como converter as componentes cilíndricas para cartesianas, que é necessário para plotar em x,y.
Conversão de componentes:
\displaystyle u_x = u_r\cos\theta - u_\theta\sin\theta,
\displaystyle u_y = u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta.
No nosso caso, \;u_r=\left(2-\tfrac{8}{r^{2}}\right)\cos\theta,\; u_\theta=-\left(2+\tfrac{8}{r^{2}}\right)\sin\theta.
Sugestão prática para o gráfico (script de exemplo em Python usando numpy e matplotlib). Este código plota vetores (quiver) e linhas de corrente (streamplot) no plano z=1. Copie e execute num ambiente Python com essas bibliotecas.
(Obs.: aqui o trecho é código; as expressões matemáticas usadas dentro do comentário seguem as fórmulas já escritas acima.)
Exemplo de código (Python):
‘’’
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

domínio em coordenadas cartesianas

x = np.linspace(-4, 4, 201)
y = np.linspace(-4, 4, 201)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

converter para polares

R = np.sqrt(X2 + Y2)
Theta = np.arctan2(Y, X)

evitar r=0 (singularidade)

R[R==0] = 1e-6

componentes em cilíndricas

Ur = (2 - 8.0/(R2)) * np.cos(Theta)
Utheta = - (2 + 8.0/(R
2)) * np.sin(Theta)

converter para cartesianas

Ux = Ur * np.cos(Theta) - Utheta * np.sin(Theta)
Uy = Ur * np.sin(Theta) + Utheta * np.cos(Theta)

máscara para r muito pequeno (opcional)

mask = R > 0.2
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.streamplot(X[mask], Y[mask], Ux[mask], Uy[mask], density=1.2, linewidth=1, arrowsize=1)
plt.quiver(X[::10,::10], Y[::10,::10], Ux[::10,::10], Uy[::10,::10], scale=20)
plt.xlabel(‘x (m)’)
plt.ylabel(‘y (m)’)
plt.title(‘Campo de velocidade no plano z=1 m’)
plt.axis(‘equal’)
plt.grid(True)
plt.show()
‘’’
Explicação rápida do que o código faz:
  • Cria uma malha em x,y e converte para r,\theta.
  • Avalia u_r e u_\theta nas fórmulas dadas.
  • Converte para (u_x,u_y) e plota linhas de corrente (streamplot) e alguns vetores (quiver).
  • Recomendo limitar a região próxima a r=0 porque há termos em 1/r^2 que explodem na origem; usar uma máscara ou evitar pontos muito próximos de r=0.
Dica motivadora: não se assuste com a singularidade em r=0 — na prova você normalmente não precisa desenhar o comportamento exatamente na origem, apenas entender a forma do campo em regiões onde r\neq 0.

Resposta

(a) Gradiente (tensor) geral, divergente geral e rotacional geral:
\displaystyle \nabla\mathbf{u}= \begin{pmatrix} 16r^{-3}\cos\theta & 16r^{-3}\sin\theta & 0\\[4pt] 16r^{-3}\sin\theta & -16r^{-3}\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=0,
\displaystyle \nabla\times\mathbf{u}=\mathbf{0}.
(b) Valores no ponto \vec{x}=(2\\ \text{m},\\\ 225^\circ,\\\ 1\\ \text{m}):
\displaystyle \nabla\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}= \begin{pmatrix} -\,\sqrt{2} & -\,\sqrt{2} & 0\\[4pt] -\,\sqrt{2} & +\,\sqrt{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}=0,
\displaystyle \nabla\times\mathbf{u}\Big|_{(2,225^\circ)}=\mathbf{0}.
(c) Gráfico no plano z=1\\ \text{m}: converta \;u_x=u_r\cos\theta-u_\theta\sin\theta,\; u_y=u_r\sin\theta+u_\theta\cos\theta\; com
\displaystyle u_r=\left(2-\frac{8}{r^{2}}\right)\cos\theta,\qquad u_\theta=-\left(2+\frac{8}{r^{2}}\right)\sin\theta,
e use o código de exemplo (streamplot/quiver em Python) fornecido no Passo 8 para gerar o gráfico.]

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