Questão 3) Dado um tubo circular, com seção variável ao longo do comprimento, com uma vazão de \mathrm{Q}=5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e dada uma velocidade média em uma seção de \vec{v}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar:
a) o diâmetro desta seção.
b) em outra seção, com o dobro do diâmetro, qual será a velocidade média do fluxo. A substância utilizada é a gasolina.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Vazão volumétrica: Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Velocidade média em uma seção: \vec{v}=2\\ \mathrm{m/s}.
  • A seção é circular (logo a área é a de um círculo).
  • Perguntas:
    a) Determinar o diâmetro dessa seção.
    b) Em outra seção com o dobro do diâmetro, determinar a velocidade média do fluxo.
  • Observação do enunciado: a substância é gasolina (não afeta a continuidade do escoamento incompressível usada aqui).

Passo 2

Princípio fundamental usado: equação da continuidade para escoamento incompressível em regime permanente. Ela diz que a vazão volumétrica Q é o produto da área da seção transversal A pela velocidade média \bar{v} nessa seção:
Q = A \cdot \bar{v}.
Explicando as variáveis:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s}.
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m^{2}}.
  • \bar{v} é a velocidade média na seção em \mathrm{m/s}.
Para uma seção circular, a área A é dada por:
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro da seção (em metros).

Passo 3

Calcular a área da seção conhecida usando a continuidade. Isolamos A na equação Q=A\bar{v}:
A=\frac{Q}{\bar{v}}.
Substituindo os valores Q=5\\ \mathrm{m^{3}/s} e \bar{v}=2\\ \mathrm{m/s}:
A=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto a área da seção é \;2{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o diâmetro a partir da área circular. Usamos
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Isolando d:
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo A=2{,}5\\ \mathrm{m^{2}}:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 2{,}5}{\pi}}=\sqrt{\frac{10}{\pi}}.
Aproximando numericamente ( \pi\approx 3{,}1416):
\frac{10}{\pi}\approx 3{,}1831,\qquad d\approx\sqrt{3{,}1831}\approx 1{,}784\\ \mathrm{m}.
Logo o diâmetro da seção é aproximadamente 1{,}784\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resolver a parte (b): seção com o dobro do diâmetro. Se d_{2}=2d_{1}, então a área escala com o quadrado do diâmetro:
A_{2}=\frac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi (2d_{1})^{2}}{4}=4\cdot\frac{\pi d_{1}^{2}}{4}=4A_{1}.
Como a vazão Q é a mesma, a nova velocidade média \bar{v}_{2} é
\bar{v}_{2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{Q}{4A_{1}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{Q}{A_{1}}=\frac{\bar{v}_{1}}{4}.
Substituindo \bar{v}_{1}=2\\ \mathrm{m/s}:
\bar{v}_{2}=\frac{2}{4}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) d\approx 1{,}784\\ \mathrm{m}
(b) \bar{v}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}

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