Considere um planeta esférico de raio R1 e densidade constante rho1, encoberto por uma nuvem de poeira esférica de raio R2 e densidade constante rho2. Determine a força gravitacional em uma partícula teste de massa m localizada a uma distância R do centro do planeta, de modo que a partícula encontra-se no interior da nuvem de poeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um planeta esférico com um raio R1 e densidade constante rho1. Esse planeta está rodeado por uma nuvem de poeira também esférica, com raio R2 e densidade constante rho2. Precisamos descobrir qual é a força gravitacional em uma partícula de massa m que está a uma distância R do centro do planeta, estando essa partícula dentro da nuvem de poeira.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e também o Teorema das Camadas, que nos ajuda a calcular a força gravitacional dentro de esferas com densidade constante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o planeta no centro, com raio R1, e ao redor dele, uma “casca” de poeira até o raio R2. A partícula teste está em algum ponto entre R1 e R2, ou seja, dentro da nuvem de poeira.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas partes:
  1. A força gravitacional devido ao planeta.
  2. A força gravitacional devido à parte da nuvem de poeira que está dentro da distância R onde a partícula se encontra.
Isso porque, pelo Teorema das Camadas, a parte da nuvem que está além de R (ou seja, entre R e R2) não contribui para a força gravitacional na partícula.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a força gravitacional devido ao planeta. Como a densidade do planeta é constante, a massa dentro de um raio R1 é:
M1 = 43 pi R1^3 rho1
A força gravitacional devido ao planeta é dada por:
F1 = G M1 mR^2
Onde G é a constante gravitacional.

Passo 5

Agora, vamos calcular a força gravitacional devido à nuvem de poeira. Como a partícula está dentro da nuvem, só consideramos a massa da poeira que está dentro do raio R. A densidade da nuvem é rho2, então a massa de poeira dentro de R é:
M2 = 43 pi R^3 rho2
A força gravitacional devido a essa massa de poeira é:
F2 = G M2 mR^2 = G ( 43 pi R^3 rho2 ) mR^2 = G 43 pi rho2 m R

Passo 6

Finalmente, a força gravitacional total sobre a partícula é a soma das forças devido ao planeta e à parte da nuvem de poeira dentro de R:
F = F1 + F2 = G M1 mR^2 + G 43 pi rho2 m R
Substituindo M1:
F = G ( 43 pi R1^3 rho1 ) mR^2 + G 43 pi rho2 m R

Resposta

A força gravitacional sobre a partícula é:
F = G 43 pi R1^3 rho1 mR^2 + G 43 pi rho2 m R
Simplificando:
F = 43 pi G m ( R1^3 rho1R^2 + rho2 R )

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