Considere um planeta esférico de raio
e densidade constante
, encoberto por uma nuvem de poeira esférica de raio
e densidade constante
. Determine a força gravitacional em uma partícula teste de massa
localizada a uma distância
do centro do planeta, de modo que a partícula encontra-se no interior da nuvem de poeira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um planeta esférico com um raio
e densidade constante
. Esse planeta está rodeado por uma nuvem de poeira também esférica, com raio
e densidade constante
. Precisamos descobrir qual é a força gravitacional em uma partícula de massa
que está a uma distância
do centro do planeta, estando essa partícula dentro da nuvem de poeira.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton e também o Teorema das Camadas, que nos ajuda a calcular a força gravitacional dentro de esferas com densidade constante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o planeta no centro, com raio
, e ao redor dele, uma “casca” de poeira até o raio
. A partícula teste está em algum ponto entre
e
, ou seja, dentro da nuvem de poeira.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas partes:
- A força gravitacional devido ao planeta.
- A força gravitacional devido à parte da nuvem de poeira que está dentro da distância
onde a partícula se encontra.
Isso porque, pelo Teorema das Camadas, a parte da nuvem que está além de
(ou seja, entre
e
) não contribui para a força gravitacional na partícula.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a força gravitacional devido ao planeta. Como a densidade do planeta é constante, a massa dentro de um raio
é:
A força gravitacional devido ao planeta é dada por:
Onde
é a constante gravitacional.
Passo 5
Agora, vamos calcular a força gravitacional devido à nuvem de poeira. Como a partícula está dentro da nuvem, só consideramos a massa da poeira que está dentro do raio
. A densidade da nuvem é
, então a massa de poeira dentro de
é:
A força gravitacional devido a essa massa de poeira é:
Passo 6
Finalmente, a força gravitacional total sobre a partícula é a soma das forças devido ao planeta e à parte da nuvem de poeira dentro de
:
Substituindo
:
Resposta
A força gravitacional sobre a partícula é:
Simplificando: