Examine o movimento de uma partícula repelida por um centro de força de acordo com a lei F(r)=k r. Demonstre que a órbita somente poderá ser hiperbólica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o movimento de uma partícula que está sendo repelida por um centro de força segundo a lei $ F® = k r $. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de partículas sob forças centrais e tipos de órbitas que elas podem seguir. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de leis de movimento, forças centrais e geometria das órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está atuando na partícula. A lei $ F® = k r $ nos diz que a força é proporcional à distância $ r $ do centro, e como é uma força de repulsão, ela está direcionada para fora. Isso é diferente da força gravitacional, que é atrativa e varia com $ 1/r^2 $. Aqui, estamos lidando com uma força tipo “mola”, semelhante à lei de Hooke, mas no sentido de repulsão.

Passo 3

Para determinar o tipo de órbita, precisamos usar a segunda lei de Newton para movimentos centrados. A equação diferencial que descreve o movimento radial é:
m d^2 rdt^2 = F(r) - L^2m r^3
onde $ m $ é a massa da partícula, $ L $ é o momento angular, e a segunda parte representa a força centrípeta devido ao momento angular.

Passo 4

Substituindo $ F® = k r $ na equação, temos:
F(r) = k r
Essa é uma equação diferencial que descreve o movimento radial da partícula sob a força central dada.

Passo 5

Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição comum em problemas de forças centrais: definir $ u = 1/r $. Com isso, usamos a relação $ \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = \frac{m k}{L^2} $.
A solução geral dessa equação diferencial é:
u = 1/r
onde $ A $ é uma constante determinada pelas condições iniciais.

Passo 6

Reescrevendo em termos de $ r $, temos:
r
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
1r = m kL^2 + A cos(theta)
Isso se assemelha à equação geral de uma cônica em coordenadas polares:
r
onde $ p $ é o parâmetro e $ e $ é a excentricidade.

Passo 7

Comparando as duas equações, percebemos que a solução representa uma cônica. O tipo de cônica depende do valor da excentricidade $ e $.
No nosso caso, a força $ F® = k r $ resulta em uma excentricidade que sempre satisfaz as condições para uma hipérbole, ou seja, $ e > 1 $.

Passo 8

Portanto, a órbita da partícula sob a força $ F® = k r $ é sempre uma hipérbole, o que significa que a partícula terá um caminho aberto e não ficará presa em uma órbita fechada como elipse ou círculo.

Resposta

A órbita da partícula repelida pela força $ F® = k r $ é sempre hiperbólica.

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