Considere o plano π : 3x + y − z − 4 = 0. - Calcule o valor de k para que o plano π1 = kx−4y+4z −7 = 0 seja paralelo a π.
Dica: dois planos são paralelos quando seus vetores diretores são paralelos; utilize a definição algébrica de paralelismo.
Dica: dois planos são paralelos quando seus vetores diretores são paralelos; utilize a definição algébrica de paralelismo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois planos no espaço tridimensional e precisa descobrir um valor para $ k $ que faz com que esses planos sejam paralelos. Vamos trabalhar com vetores normais dos planos e usar a definição algébrica de paralelismo para encontrar $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação do plano.
Para o plano $ \pi $: $ 3x + y - z - 4 = 0 $, o vetor normal é $ \mathbf{n} = (3, 1, -1) $.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do segundo plano $ \pi_1 $: $ kx - 4y + 4z - 7 = 0 $. O vetor normal aqui é $ \mathbf{n}_1 = (k, -4, 4) $.
Passo 4
Dois planos são paralelos se os seus vetores normais são paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número $ \lambda $ tal que:
Isso significa que cada componente de $ \mathbf{n}_1 $ é igual a $ \lambda $ vezes a respectiva componente de $ \mathbf{n} $.
Passo 5
Vamos igualar as componentes:
Vamos resolver essas equações para encontrar $ \lambda $ e, consequentemente, $ k $.
Passo 6
Da segunda equação:
Então, $ \lambda = -4 $.
Passo 7
Agora, usando o valor de $ \lambda $ encontrado na primeira equação:
Passo 8
Vamos conferir com a terceira equação:
Tudo confere!
Resposta
O valor de $ k $ que torna os planos $ \pi $ e $ \pi_1 $ paralelos é $ k = -12 $.