Considere o plano cartesiano, representação do
. Dê a equação da curva e esboce-a:
circunferência de centro ( 0,1 ) e raio 1 ;
circunferência de centro ( 0,1 ) e raio 1 ;
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- Centro da circunferência:
. - Raio:
.
- Centro da circunferência:
- O que é pedido:
- Dar a equação da curva (a circunferência).
- Esboçá-la (dar elementos suficientes para desenhar: pontos notáveis, interseções, comportamento).
Passo 2
Recordando a forma padrão da equação de uma circunferência: se o centro é
e o raio é
, então a equação é
Explicando devagar: esta fórmula vem da definição de circunferência como o conjunto de pontos cuja distância ao centro
é exatamente
. A distância entre
e
é dada pelo Teorema de Pitágoras como
; igualando essa distância a
e elevando ao quadrado obtemos a equação acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dados do enunciado: aqui
,
e
. Substituindo na fórmula padrão:
Simplificando:
Essa é a equação na forma centro-raio, que é a forma mais direta e intuitiva.
Passo 4
Se for útil, podemos escrever a forma expandida (forma geral sem término constante isolado):
Partindo de , expandimos
:
Partindo de
Cancelando
dos dois lados:
Ambas as formas são equivalentes, só escolha a que achar mais prática para a prova (a forma centro-raio é ótima para esboço).
Passo 5
Pontos notáveis — usar o centro
e o raio
para achar os extremos na direção dos eixos:
- Ponto superior (centro mais
): . - Ponto inferior (centro menos
): . - Ponto direito (centro mais
): . - Ponto esquerdo (centro menos
): .
Esses quatro pontos são fáceis de marcar no papel e dão a “moldura” da circunferência.
Passo 6
Interseções com os eixos (úteis para esboço):
- Interseção com o eixo
(colocar na equação): Logo a única interseção com o eixo é . - Interseção com o eixo
(colocar ): Isso dá e , ou seja os pontos e . Note que aparece em ambos os cálculos — a circunferência é tangente ao eixo em .
Passo 7
Expressão explícita de
em função de
(útil para traçar a parte superior e inferior sem cálculo diferencial):
A partir de ,
A partir de
portanto
com domínio
. A escolha do sinal
dá a semicircunferência superior (de
até
passando por
) e o sinal
dá a semicircunferência inferior (passando por
).
Passo 8
Sugestão prática de esboço (passo a passo que você pode replicar numa prova sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e e marque a unidade de comprimento. - Marque o centro
. - A partir do centro, marque os pontos
, , e . - Ligue suavemente esses pontos formando uma curva fechada e redonda — será a circunferência de raio
. - Verifique que a curva toca o eixo
apenas em (tangência), e que os possíveis vão de a .
Passo 9
Observação geométrica útil para lembrar na prova: o fato de a circunferência ser tangente ao eixo
em
é consequência direta do centro estar a uma distância igual ao raio do eixo
(o centro tem coordenada
e o raio é
); o vetor raio para
é vertical, então a reta tangente aí é horizontal — exatamente o eixo
.
Resposta
Esboço: circunferência de centro
e raio
; pontos notáveis
; tangente ao eixo
em
.