Considere o plano cartesiano, representação do \mathbb{R}^{2}. Dê a equação da curva e esboce-a:
circunferência de centro ( 0,1 ) e raio 1 ;

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Centro da circunferência: (0,1).
    • Raio: 1.
  • O que é pedido:
    1. Dar a equação da curva (a circunferência).
    2. Esboçá-la (dar elementos suficientes para desenhar: pontos notáveis, interseções, comportamento).

Passo 2

Recordando a forma padrão da equação de uma circunferência: se o centro é (h,k) e o raio é r, então a equação é
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.
Explicando devagar: esta fórmula vem da definição de circunferência como o conjunto de pontos cuja distância ao centro (h,k) é exatamente r. A distância entre (x,y) e (h,k) é dada pelo Teorema de Pitágoras como \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}; igualando essa distância a r e elevando ao quadrado obtemos a equação acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado: aqui h=0, k=1 e r=1. Substituindo na fórmula padrão:
(x-0)^2+(y-1)^2=1^2.
Simplificando:
x^2+(y-1)^2=1.
Essa é a equação na forma centro-raio, que é a forma mais direta e intuitiva.

Passo 4

Se for útil, podemos escrever a forma expandida (forma geral sem término constante isolado):
Partindo de \\ x^2+(y-1)^2=1\, expandimos (y-1)^2:
x^2+y^2-2y+1=1.
Cancelando +1 dos dois lados:
x^2+y^2-2y=0.
Ambas as formas são equivalentes, só escolha a que achar mais prática para a prova (a forma centro-raio é ótima para esboço).

Passo 5

Pontos notáveis — usar o centro (0,1) e o raio 1 para achar os extremos na direção dos eixos:
  • Ponto superior (centro mais (0,r)): (0,2).
  • Ponto inferior (centro menos (0,r)): (0,0).
  • Ponto direito (centro mais (r,0)): (1,1).
  • Ponto esquerdo (centro menos (r,0)): (-1,1).
    Esses quatro pontos são fáceis de marcar no papel e dão a “moldura” da circunferência.

Passo 6

Interseções com os eixos (úteis para esboço):
  • Interseção com o eixo x (colocar y=0 na equação): x^2+(0-1)^2=1 \quad\Rightarrow\quad x^2+1=1 \quad\Rightarrow\quad x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.Logo a única interseção com o eixo x é (0,0).
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0): 0^2+(y-1)^2=1 \quad\Rightarrow\quad (y-1)^2=1 \quad\Rightarrow\quad y-1=\pm1.Isso dá y=2 e y=0, ou seja os pontos (0,2) e (0,0). Note que (0,0) aparece em ambos os cálculos — a circunferência é tangente ao eixo x em (0,0).

Passo 7

Expressão explícita de y em função de x (útil para traçar a parte superior e inferior sem cálculo diferencial):
A partir de \\ x^2+(y-1)^2=1\,
(y-1)^2=1-x^2,
portanto
y=1\pm\sqrt{1-x^2},
com domínio |x|\le 1. A escolha do sinal + dá a semicircunferência superior (de ( -1,1) até (1,1) passando por (0,2)) e o sinal - dá a semicircunferência inferior (passando por (0,0)).

Passo 8

Sugestão prática de esboço (passo a passo que você pode replicar numa prova sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a unidade de comprimento.
  2. Marque o centro (0,1).
  3. A partir do centro, marque os pontos (0,2), (0,0), (1,1) e (-1,1).
  4. Ligue suavemente esses pontos formando uma curva fechada e redonda — será a circunferência de raio 1.
  5. Verifique que a curva toca o eixo x apenas em (0,0) (tangência), e que os x possíveis vão de -1 a 1.

Passo 9

Observação geométrica útil para lembrar na prova: o fato de a circunferência ser tangente ao eixo x em (0,0) é consequência direta do centro estar a uma distância igual ao raio do eixo x (o centro tem coordenada y=1 e o raio é 1); o vetor raio para (0,0) é vertical, então a reta tangente aí é horizontal — exatamente o eixo x.

Resposta

x^2+(y-1)^2=1
Esboço: circunferência de centro (0,1) e raio 1; pontos notáveis (0,2),(0,0),(1,1),(-1,1); tangente ao eixo x em (0,0).

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