Esboce o subconjunto do \mathbb{R}^{2} no plano cartesiano:
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=1\}.
O que é pedido: esboçar (desenhar) esse conjunto no plano cartesiano. Informação relevante: a única condição é que a coordenada x de cada ponto vale 1; não há restrição sobre y.

Passo 2

Entendendo o plano cartesiano e coordenadas: um ponto no plano é representado por um par (x,y), onde x mede a posição horizontal e y a posição vertical. Traços importantes para esboçar: eixo x (horizontal) e eixo y (vertical). Para localizar x=1 no eixo x, marca-se o ponto correspondente a uma unidade à direita da origem.

Passo 3

Interpretação da equação x=1: a condição significa "todos os pontos cujo componente horizontal é 1". Em palavras: qualquer número real pode ser a componente vertical y, mas o x é sempre 1. Portanto os elementos de D têm a forma
(x,y)=(1,t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Exemplos concretos de pontos que pertencem a D (útil para desenhar): (1,0), (1,1), (1,-2), (1,3{,}5). Todos esses estão alinhados verticalmente porque compartilham a mesma abscissa 1.

Passo 5

Característica geométrica: a coleção de todos os pontos (1,t) com t\in\mathbb{R} forma uma reta vertical. Podemos ver isso calculando a “inclinação” entre dois pontos quaisquer (1,y_1) e (1,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{1-1}=\frac{y_2-y_1}{0},
o que é indefinido — sinal típico de uma reta vertical. Logo D é uma reta vertical paralela ao eixo y.

Passo 6

Propriedades úteis para anotar no esboço:
  • Domínio de D: \{1\} (só a abscissa 1 aparece).
  • Imagem (conjunto de y): \mathbb{R} (toda a reta vertical, y pode ser qualquer real).
  • D não é subespaço linear de \mathbb{R}^2 porque não contém a origem (0,0); é uma reta afim (transladação da reta que passa pela origem).

Passo 7

Como desenhar passo a passo (para fazer na prova, sem complicação):
  1. Desenhe os eixos cartesianos x (horizontal) e y (vertical) e marque a origem.
  2. Marque no eixo x o ponto 1 (uma unidade à direita da origem).
  3. A partir desse ponto x=1, trace uma linha reta vertical que se estenda para cima e para baixo indefinidamente.
  4. Rotule essa linha com x=1 ou com D para indicar que é o conjunto pedido.
    Opcional: marque alguns pontos de exemplo como (1,1) e (1,-1) para visualização.

Resposta

A reta vertical x=1 no plano cartesiano (todos os pontos (1,y) com y\in\mathbb{R}).

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