Esboce no plano cartesiano:
a região R contida no semiplano x \geq 0 interior ao disco de centro ( 0,0 ) e raio 2 e exterior ao disco de centro (1,0) e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano cartesiano a região R que satisfaz três condições ao mesmo tempo:
  • está contida no semiplano x\ge 0;
  • está no interior do disco de centro (0,0) e raio 2;
  • é exterior ao disco de centro (1,0) e raio 1.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • Disco maior: centro (0,0), raio 2 (equação \,x^{2}+y^{2}=4,).
  • Disco menor: centro (1,0), raio 1 (equação \,(x-1)^{2}+y^{2}=1,).
  • Semiplano: x\ge 0.

Passo 2

Escrever a região de forma matemática para ficar tudo claro:
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le 4,\; (x-1)^{2}+y^{2}\ge 1\}.
Explicando cada desigualdade em palavras (é importante saber interpretar isso na prova):
  • x\ge 0 significa só a metade direita do plano (inclui o eixo y).
  • x^{2}+y^{2}\le 4 significa pontos dentro ou sobre o círculo de raio 2 centrado em (0,0).
  • (x-1)^{2}+y^{2}\ge 1 significa pontos fora ou sobre o círculo de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 3

Marcar no papel os elementos básicos para o esboço:
  1. Desenhe os eixos x e y e marque unidades; marque os pontos (1,0) e (2,0) no eixo x e (0,2), (0,-2) no eixo y.
  2. Desenhe o círculo maior (centro em (0,0), raio 2) passando por (2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2).
  3. Desenhe o círculo menor (centro em (1,0), raio 1) passando por (0,0), (2,0), (1,1), (1,-1).
Dica prática para desenhar círculos sem régua: marque os pontos cardeais indicados e trace a curva passando suavemente por eles, mantendo a curvatura.

Passo 4

Investigue interseções e tangências (ajuda muito a entender a forma da região):
  • Interseção dos dois círculos: resolver o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=4,\\[4pt] (x-1)^{2}+y^{2}=1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
x^{2}-(x-1)^{2}=4-1=3.
Expandindo e simplificando: x^{2}-(x^{2}-2x+1)=2x-1=3, logo 2x=4 e x=2. Substituindo em x^{2}+y^{2}=4 4+y^{2}=4\Rightarrow y=0. Então os círculos se tocam em um único ponto (2,0) (são tangentes externamente aí).
  • O disco menor tem extremo esquerdo em x=0 (porque o centro é (1,0) e o raio é 1), ou seja toca o eixo y em (0,0).
Conclusão desta análise: o disco menor está todo dentro do disco maior e é tangente a ele em (2,0); além disso o disco menor toca o eixo y em (0,0). Estas observações ajudam a desenhar sem erro: o círculo menor fica inteiramente na metade direita ( 0\le x\le 2).]

Passo 5

Determine a forma final da região R e quais partes desenhar/ sombrear:
  • Comece sombreando a parte do disco maior que está à direita do eixo y (isto é, o conjunto de pontos com x\ge 0 e x^{2}+y^{2}\le 4). Isso é um semicírculo preenchido (inclui a borda do círculo maior para x\ge0).
  • Agora retire (não sombreie) os pontos que pertencem ao interior do disco menor (os pontos com (x-1)^{2}+y^{2}<1). Como o disco menor fica totalmente na região x\ge0, o “buraco” criado pelo disco menor aparece completamente dentro da metade direita do disco maior.
  • Deixe a borda do disco menor visível (se a condição dita “exterior ao disco” permitir incluir a fronteira, então a circunferência do disco menor está na fronteira de R). Pelo enunciado “exterior ao disco” interpretamos como \ge, então a fronteira do pequeno círculo pertence a R.
Portanto visualmente R é a região do semicírculo de raio 2 à direita do eixo y, com um buraco circular (o disco de raio 1 centrado em (1,0)) removido. O buraco toca a borda externa em (2,0) e toca o eixo y em (0,0).

Passo 6

Instruções passo a passo para o esboço final (faça na sua folha agora):
  1. Trace os eixos e marque 0,1,2 no eixo x e 0,1,2 no eixo y.
  2. Desenhe o círculo de raio 2 centrado na origem.
  3. Desenhe o círculo de raio 1 centrado em (1,0).
  4. Apague/sombreie apenas a parte do círculo maior que está à direita do eixo y (ou pinte-a leve), e dentro dessa área remova (não pinte) todo o interior do círculo menor. Mantenha a borda do círculo menor desenhada.
  5. Verifique os pontos chave: (0,2), (0,-2) (extremos do semicírculo), (0,0) (interseção do pequeno círculo com o eixo y), e (2,0) (ponto de tangência entre círculos).
Dica final: se quiser indicar claramente que o interior do pequeno disco foi removido, faça hachuras no interior do pequeno disco ou deixe esse interior em branco enquanto colore o resto do semicírculo.

Resposta

R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le 4,\; (x-1)^{2}+y^{2}\ge 1\}

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