Esboce no plano cartesiano:
a região
contida no semiplano
interior ao disco de centro ( 0,0 ) e raio 2 e exterior ao disco de centro
e raio 1 .
a região
Passo 1
O enunciado pede para esboçar no plano cartesiano a região
que satisfaz três condições ao mesmo tempo:
- está contida no semiplano
; - está no interior do disco de centro
e raio ; - é exterior ao disco de centro
e raio .
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- Disco maior: centro
, raio (equação ,). - Disco menor: centro
, raio (equação ,). - Semiplano:
.
Passo 2
Escrever a região de forma matemática para ficar tudo claro:
Explicando cada desigualdade em palavras (é importante saber interpretar isso na prova):
-
significa só a metade direita do plano (inclui o eixo ). -
significa pontos dentro ou sobre o círculo de raio centrado em . -
significa pontos fora ou sobre o círculo de raio centrado em .
Passo 3
Marcar no papel os elementos básicos para o esboço:
- Desenhe os eixos
e e marque unidades; marque os pontos e no eixo e , no eixo . - Desenhe o círculo maior (centro em
, raio ) passando por , , , . - Desenhe o círculo menor (centro em
, raio ) passando por , , , .
Dica prática para desenhar círculos sem régua: marque os pontos cardeais indicados e trace a curva passando suavemente por eles, mantendo a curvatura.
Passo 4
Investigue interseções e tangências (ajuda muito a entender a forma da região):
- Interseção dos dois círculos: resolver o sistema
Subtraindo a segunda da primeira:
Expandindo e simplificando:
, logo
e
. Substituindo em
dá
. Então os círculos se tocam em um único ponto
(são tangentes externamente aí).
- O disco menor tem extremo esquerdo em
(porque o centro é e o raio é ), ou seja toca o eixo em .
Conclusão desta análise: o disco menor está todo dentro do disco maior e é tangente a ele em
; além disso o disco menor toca o eixo
em
. Estas observações ajudam a desenhar sem erro: o círculo menor fica inteiramente na metade direita (
).]
Passo 5
Determine a forma final da região
e quais partes desenhar/ sombrear:
- Comece sombreando a parte do disco maior que está à direita do eixo
(isto é, o conjunto de pontos com e ). Isso é um semicírculo preenchido (inclui a borda do círculo maior para ). - Agora retire (não sombreie) os pontos que pertencem ao interior do disco menor (os pontos com
). Como o disco menor fica totalmente na região , o “buraco” criado pelo disco menor aparece completamente dentro da metade direita do disco maior. - Deixe a borda do disco menor visível (se a condição dita “exterior ao disco” permitir incluir a fronteira, então a circunferência do disco menor está na fronteira de
). Pelo enunciado “exterior ao disco” interpretamos como , então a fronteira do pequeno círculo pertence a .
Portanto visualmente
é a região do semicírculo de raio
à direita do eixo
, com um buraco circular (o disco de raio
centrado em
) removido. O buraco toca a borda externa em
e toca o eixo
em
.
Passo 6
Instruções passo a passo para o esboço final (faça na sua folha agora):
- Trace os eixos e marque
no eixo e no eixo . - Desenhe o círculo de raio
centrado na origem. - Desenhe o círculo de raio
centrado em . - Apague/sombreie apenas a parte do círculo maior que está à direita do eixo
(ou pinte-a leve), e dentro dessa área remova (não pinte) todo o interior do círculo menor. Mantenha a borda do círculo menor desenhada. - Verifique os pontos chave:
, (extremos do semicírculo), (interseção do pequeno círculo com o eixo ), e (ponto de tangência entre círculos).
Dica final: se quiser indicar claramente que o interior do pequeno disco foi removido, faça hachuras no interior do pequeno disco ou deixe esse interior em branco enquanto colore o resto do semicírculo.