Considere o plano pi de equação pi: x-y+z+2=0 e o ponto P=(1,1,1).
© Determine o ponto P^prime, simétrico de P em relação ao plano pi.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar o ponto que é o simétrico do ponto em relação ao plano com a equação . Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre distâncias de pontos a planos e a reflexão de pontos em relação a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano n = (1, -1, 1) . A equação geral de um plano é , e o vetor normal é . No nosso caso, , , e , então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância do ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano d = |1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 1 cdot 1 + 2|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |1 - 1 + 1 + 2|raiz1 + 1 + 1 = |3|raiz3 = 3raiz3 = raiz3 . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Substituindo os valores:

Passo 4

O ponto simétrico P' = P - 2d cdot n||n|| está localizado na direç��o do vetor normal, a uma distância ||n|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3 do ponto P' = (1, 1, 1) - 2 cdot raiz3 cdot ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 ) = (1, 1, 1) - (2, -2, 2) = (1 - 2, 1 - (-2), 1 - 2) = (-1, 3, -1) , pois ele precisa “atravessar” o plano e ir a mesma distância para o outro lado. Podemos calcular usando a fórmula:
Onde é o comprimento do vetor normal. Calculando:
Então:

Resposta

O ponto simétrico de em relação ao plano é .

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