(2,0 pts)Determine:
(a) As equações reduzidas, na variável
, da reta
que passa por
e tem direção de
.
(b) Determine o ângulo entre a reta
, obtida no item anterior, e a reta
.
(a) As equações reduzidas, na variável
(b) Determine o ângulo entre a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede duas coisas. Primeiro, encontrar as equações reduzidas da reta
que passa pelo ponto
e tem direção do vetor
. Depois, a gente precisa descobrir o ângulo entre essa reta
e outra reta
que já está definida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de reta e cálculo de ângulo entre vetores.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Para achar as equações reduzidas da reta
na variável
, precisamos usar a fórmula das equações paramétricas e depois rearranjá-las para isolar
e
em função de
.
A equação geral de uma reta no espaço é dada por:
onde
é um ponto da reta e
é o vetor diretor.
Aqui, nosso ponto
tem coordenadas
e o vetor diretor é
.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, queremos as equações reduzidas em termos de
. Isso significa que vamos expressar
e
em função de
.
Vamos igualar cada fração a
, que é o parâmetro:
Agora, resolvendo cada uma para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Então, as equações reduzidas da reta
na variável
são:
Passo 5
Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar o ângulo entre as retas
e
. Para isso, usamos os vetores diretores de cada reta.
A reta
tem o vetor diretor
.
A reta
está dada por:
Então, o vetor diretor de
é
.
Passo 6
Para encontrar o ângulo
entre as duas retas, usamos a fórmula do produto escalar entre os vetores diretores:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 8
Voltando à fórmula do cosseno, temos:
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo
é
.
Resposta
(a) As equações reduzidas da reta
na variável
são:
(b) O ângulo entre as retas
e
é
.