Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(3,-1,2) e s:(x, y, z)=(1,0,-1)+s(3,-1,2)
(b) Dê um exemplo de uma reta que é perpendicular e concorrente às retas r e s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, chamadas e , que são paralelas. A questão pede para encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas e que também concorra (ou seja, passe por algum ponto comum) a essas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r: (x, y, z) = (0,1,2) + t(3,-1,2) e s: (x, y, z) = (1,0,-1) + s(3,-1,2) . Olhando as equações paramétricas:
O vetor diretor de ambas as retas é .

Passo 3

Uma reta que seja perpendicular a d cdot v = 0 e precisa ter um vetor diretor que seja perpendicular a . Para isso, o produto escalar entre os vetores diretores deve ser igual a zero. Ou seja, se é o vetor diretor da reta que queremos encontrar, então:

Passo 4

Vamos escolher um vetor d cdot v = 3 times 1 + (-1) times 3 + 2 times 0 = 0 que satisfaz essa condição. Por exemplo, podemos escolher porque:
Então, é perpendicular a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um ponto que a nova reta vai passar. Como a reta precisa ser concorrente às retas e , ou seja, intersectar ambas, vamos buscar o ponto de interseção. Porém, já que e são paralelas e distintas, não há um ponto comum entre elas. Então, na verdade, queremos uma reta que seja perpendicular a ambas e que seja a reta normal comum entre e .

Passo 6

Para encontrar essa reta perpendicular comum, podemos calcular o vetor que conecta um ponto de PQ = Q - P = (1-0, 0-1, -1-2) = (1, -1, -3) a um ponto de PQ cdot d = 1 times 3 + (-1) times (-1) + (-3) times 2 = 3 + 1 - 6 = -2 neq 0 e garantir que ele seja perpendicular a . Vamos escolher os pontos em e em . O vetor é:
Queremos que seja perpendicular a , então verificamos:
Não é perpendicular, então precisamos ajustar.

Passo 7

A ideia é encontrar o ponto médio entre M = ( 0+12, 1+02, 2+(-1)2 ) = ( 12, 12, 12 ) e e usar esse ponto como base para a nossa reta perpendicular. Calculamos o ponto médio :

Passo 8

Agora, usamos o ponto t: (x, y, z) = ( 12, 12, 12 ) + t(1, 3, 0) e o vetor diretor para definir a reta perpendicular:

Resposta

Uma reta que é perpendicular e concorrente às retas t: ( x, y, z ) = ( 12, 12, 12 ) + t(1, 3, 0) e é:

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