Considere as retas paralelas
(b) Dê um exemplo de uma reta que é perpendicular e concorrente às retas
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, chamadas
e
, que são paralelas. A questão pede para encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas e que também concorra (ou seja, passe por algum ponto comum) a essas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas
e
. Olhando as equações paramétricas:
O vetor diretor de ambas as retas é
.
Passo 3
Uma reta que seja perpendicular a
e
precisa ter um vetor diretor que seja perpendicular a
. Para isso, o produto escalar entre os vetores diretores deve ser igual a zero. Ou seja, se
é o vetor diretor da reta que queremos encontrar, então:
Passo 4
Vamos escolher um vetor
que satisfaz essa condição. Por exemplo, podemos escolher
porque:
Então,
é perpendicular a
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um ponto que a nova reta vai passar. Como a reta precisa ser concorrente às retas
e
, ou seja, intersectar ambas, vamos buscar o ponto de interseção. Porém, já que
e
são paralelas e distintas, não há um ponto comum entre elas. Então, na verdade, queremos uma reta que seja perpendicular a ambas e que seja a reta normal comum entre
e
.
Passo 6
Para encontrar essa reta perpendicular comum, podemos calcular o vetor que conecta um ponto de
a um ponto de
e garantir que ele seja perpendicular a
. Vamos escolher os pontos
em
e
em
. O vetor
é:
Queremos que
seja perpendicular a
, então verificamos:
Não é perpendicular, então precisamos ajustar.
Passo 7
A ideia é encontrar o ponto médio entre
e
e usar esse ponto como base para a nossa reta perpendicular. Calculamos o ponto médio
:
Passo 8
Agora, usamos o ponto
e o vetor diretor
para definir a reta perpendicular:
Resposta
Uma reta que é perpendicular e concorrente às retas
e
é: