Considere o plano \Pi de equação -x+2 y+z=d com d constante. Assuma que, dados dois pontos \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) em \Pi, temos que ( x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2} ) também está em \Pi. Determine o valor de d.

Passo 1

O enunciado dá o plano \Pi de equação
-x + 2y + z = d,
onde d é constante. Ele afirma que, sempre que dois pontos \bigl(x_{1},y_{1},z_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2},z_{2}\bigr) pertencem a \Pi, então o ponto \bigl(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}\bigr) também está em \Pi.
Queremos encontrar o valor de d que torna isso possível.

Passo 2

Se \bigl(x_{1},y_{1},z_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2},z_{2}\bigr) estão em \Pi, vale
-x_{1} + 2y_{1} + z_{1} = d \quad\text{e}\quad -x_{2} + 2y_{2} + z_{2} = d.

Passo 3

Agora verificamos a condição para o ponto soma \bigl(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}\bigr). Substituindo na equação do plano, o lado esquerdo fica
-\bigl(x_{1}+x_{2}\bigr) + 2\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr) + \bigl(z_{1}+z_{2}\bigr).

Passo 4

Agrupando, isso é
\bigl(-x_{1}+2y_{1}+z_{1}\bigr) + \bigl(-x_{2}+2y_{2}+z_{2}\bigr) = d + d = 2d.
Para que o ponto soma esteja em \Pi, esse valor deve ser igual a d. Logo,
2d = d.

Passo 5

Resolvendo 2d = d obtemos
d = 0.

Resposta

d = 0

Exercícios relacionados