Considere a reta r de equação -x+2 y=d com d constante. Assuma que, dados dois pontos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right) em r, temos que \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) também está em r. Determine o valor de d.

Passo 1

O enunciado dá a reta r de equação
-x + 2y = d
e afirma que, se \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr) estão em r, então o ponto \bigl(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr) também pertence a r. O conteúdo é geometria analítica de reta e propriedade de fechamento por soma de pontos.

Passo 2

Como \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr) estão em r, temos
-\,x_{1} + 2y_{1} = d \quad\text{e}\quad -\,x_{2} + 2y_{2} = d.

Passo 3

Pela condição de fechamento, o ponto \bigl(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr) deve satisfazer a equação da reta:
-\,\bigl(x_{1}+x_{2}\bigr) + 2\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr) = \bigl(-x_{1}+2y_{1}\bigr) + \bigl(-x_{2}+2y_{2}\bigr) = d + d = 2d.

Passo 4

Para que esse valor seja igual a d, precisamos de
2d = d \quad\Longrightarrow\quad d = 0.

Resposta

d=0

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