Verifique se o ponto Q=(1,2,-1,5,0) está no plano \Pi=\left\{P+t_{1} \mathbf{w}_{\mathbf{1}}+t_{2} \mathbf{w}_{\mathbf{2}} \mid t_{1} \mathrm{e} t_{2} \in \mathbb{R}\right\}, onde P=(3,3,0,-1,1), \mathbf{w}_{\mathbf{1}}=(0,-1,1,1,2) e \mathbf{w}_{\mathbf{2}}=(1,0,0,1,0). Encontre três pontos de \Pi.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \displaystyle Q=(1,2,-1,5,0)
pertence ao plano \displaystyle \Pi=\{\,P + t_{1}w_{1} + t_{2}w_{2}\mid t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\},
onde \displaystyle P=(3,3,0,-1,1), \displaystyle w_{1}=(0,-1,1,1,2)
e \displaystyle w_{2}=(1,0,0,1,0).
Para isso, precisamos achar t_{1},t_{2} tais que
P + t_{1}w_{1} + t_{2}w_{2} \;=\; Q.
Depois, o exercício pede também três pontos quaisquer de \Pi, ou seja, basta escolher pares (t_{1},t_{2}) e calcular P+t_{1}w_{1}+t_{2}w_{2}.

Passo 2

Igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} 3 + 0\,t_{1} + 1\,t_{2} = 1,\\\\ 3 - 1\,t_{1} + 0\,t_{2} = 2,\\\\ 0 + 1\,t_{1} + 0\,t_{2} = -1,\\\\ -1 + 1\,t_{1} + 1\,t_{2} = 5,\\\\ 1 + 2\,t_{1} + 0\,t_{2} = 0. \end{cases}

Passo 3

Das três primeiras equações:
  1. 3 + t_{2} = 1 t_{2} = -2.
  2. 3 - t_{1} = 2 t_{1} = 1.
  3. t_{1} = -1.
Já dá para ver que a equação 2) exige t_{1}=1 e a 3) exige t_{1}=-1. Isso é contraditório, então não há solução simultânea para t_{1} e t_{2}.

Passo 4

Como não existem t_{1},t_{2}\in\mathbb{R} que satisfaçam todas as cinco equações, concluímos que Q\notin\Pi.

Passo 5

Para dar três exemplos de pontos em \Pi, basta escolher valores para (t_{1},t_{2}). Por exemplo:
  1. (t_{1},t_{2})=(0,0)
P + 0\,w_{1} + 0\,w_{2} = (3,3,0,-1,1).
  1. (t_{1},t_{2})=(1,0)
P + w_{1} = (3,3,0,-1,1) + (0,-1,1,1,2) = (3,2,1,0,3).
  1. (t_{1},t_{2})=(0,1)
P + w_{2} = (3,3,0,-1,1) + (1,0,0,1,0) = (4,3,0,0,1).

Resposta

Q não pertence a \Pi.
Três pontos de \Pi são
(3,3,0,-1,1),\quad (3,2,1,0,3),\quad (4,3,0,0,1).

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