Considere o plano \Pi que passa por P=(1,3,-2) na direção de \mathbf{u}=(2,2,1) e \mathbf{v}= ( -1,1,0 ). Encontre um ponto Q \neq P e dois vetores \mathbf{w}_{\mathbf{1}} e \mathbf{w}_{\mathbf{2}} diferentes de \mathbf{u} e \mathbf{v} tais que \Pi=\left\{Q+t_{1} \mathbf{w}_{\mathbf{1}}+t_{2} \mathbf{w}_{\mathbf{2}} \mid t_{1}\right. e \left.t_{2} \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \Pi que passa por
P=(1,3,-2)
com direções
\mathbf{u}=(2,2,1) \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(-1,1,0),
e pede um ponto Q\neq P e dois vetores \mathbf{w}_1 e \mathbf{w}_2, diferentes de \mathbf{u} e \mathbf{v}, que também gerem o mesmo plano:
\Pi = \{Q + t_1\,\mathbf{w}_1 + t_2\,\mathbf{w}_2\mid t_1,t_2\in\mathbb{R}\}.

Passo 2

Qualquer ponto do plano pode ser escrito como
P + t_1\,\mathbf{u} + t_2\,\mathbf{v}.
Basta escolhermos um valor para (t_1,t_2) que não seja (0,0). Por exemplo, tomamos
Q = P + \mathbf{u} = (1,3,-2) + (2,2,1) = (3,5,-1).
Assim Q\neq P e Q\in\Pi.

Passo 3

Para achar \mathbf{w}_1 e \mathbf{w}_2 no mesmo subespaço gerado por \mathbf{u},\mathbf{v}, mas distintos deles, fazemos combinações lineares independentes, por exemplo:
\mathbf{w}_1 = \mathbf{u} + \mathbf{v} = (2,2,1) + (-1,1,0) = (1,3,1),
\mathbf{w}_2 = \mathbf{u} - \mathbf{v} = (2,2,1) - (-1,1,0) = (3,1,1).
Note que \mathbf{w}_1 e \mathbf{w}_2 não são múltiplos entre si (logo são linearmente independentes) e claramente não coincidem com \mathbf{u} nem com \mathbf{v}, mas \mathrm{Span}\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\}=\mathrm{Span}\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}.

Passo 4

Portanto o plano pode ser reescrito como
\Pi = \bigl\{Q + t_1\,\mathbf{w}_1 + t_2\,\mathbf{w}_2 \mid t_1,t_2\in\mathbb{R}\bigr\}.

Resposta

Q = (3,5,-1) \mathbf{w}_1 = (1,3,1) \mathbf{w}_2 = (3,1,1)

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