Considere a reta r que passa por P=(1,3,-2) na direção de \mathbf{u}=(2,2,1). Encontre um ponto Q \neq P e um vetor \mathbf{w} \neq \mathbf{u} tais que r=\{Q+t \mathbf{w} \mid t \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica
r=\{P+t\,\mathbf{u}\mid t\in\mathbb{R}\},
onde P=(1,3,-2) e \mathbf{u}=(2,2,1). Queremos reescrever r na forma
r=\{Q+s\,\mathbf{w}\mid s\in\mathbb{R}\},
escolhendo um ponto Q\neq P sobre r e um vetor \mathbf{w}\neq\mathbf{u} paralelo a \mathbf{u}.

Passo 2

Para achar Q, basta tomar um valor fixo t_0\neq 0. Se escolhermos t_0=1, então
Q = P + 1\cdot\mathbf{u} = (1,3,-2)+(2,2,1) = (3,5,-1).
Claramente Q\neq P e Q está na reta r.

Passo 3

Escolhemos \mathbf{w} como múltiplo escalar de \mathbf{u}, mas diferente de \mathbf{u}. Por exemplo,
\mathbf{w} = 2\,\mathbf{u} = (4,4,2),
que satisfaz \mathbf{w}\neq\mathbf{u} e é paralelo a \mathbf{u}. Então a representação
r = \{\,Q + s\,\mathbf{w}\mid s\in\mathbb{R}\}
é a mesma, pois
Q + s\,\mathbf{w} = P + \mathbf{u} + s\,(2\mathbf{u}) = P + (1 + 2s)\,\mathbf{u},
e à medida que s varia em \mathbb{R}, 1+2s também percorre todos os reais, recuperando a forma original.

Resposta

Um exemplo de Q e \mathbf{w} é
Q=(3,5,-1), \quad \mathbf{w}=(4,4,2).

Exercícios relacionados