Considere um ponto A e um vetor não nulo \mathbf{w} em \mathbb{R}^{3}. Identifique geometricamente o conjunto dos pontos P \in \mathbb{R}^{3} tais que \overrightarrow{A P} \cdot \mathbf{w}=0.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos P\in\mathbb{R}^3 tais que \overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{w}=0, onde A é um ponto fixo e \mathbf{w} é um vetor não nulo. O conteúdo principal aqui é o produto escalar e sua interpretação geométrica: quando o produto escalar de dois vetores é zero, eles são perpendiculares.

Passo 2

Seja A=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) e P=(x,y,z). Então
\overrightarrow{AP}=(x-a_1,\;y-a_2,\;z-a_3)
e a condição \overrightarrow{AP}\cdot\mathbf{w}=0 torna-se
(x-a_1)\,w_1+(y-a_2)\,w_2+(z-a_3)\,w_3=0.

Passo 3

A equação
(x-a_1)\,w_1+(y-a_2)\,w_2+(z-a_3)\,w_3=0
é precisamente a equação de um plano em \mathbb{R}^3. O vetor normal a esse plano é \mathbf{w} e o plano passa pelo ponto A.

Resposta

O conjunto descrito é o plano afim que passa por A e é perpendicular ao vetor \mathbf{w}.

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