Considere a planta
em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Projete um compensador PD com filtro derivativo, de modo que ao ser aplicada uma entrada do tipo degrau unitário, o sinal de saída apresente os seguintes requisitos de desempenho:
e
segundos. Posicione o zero do compensador, de modo a cancelar o polo de malha aberta
.
Projete um compensador PD com filtro derivativo, de modo que ao ser aplicada uma entrada do tipo degrau unitário, o sinal de saída apresente os seguintes requisitos de desempenho:
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar isso com calma. Tem um sistema de malha fechada com G(s)=20(s+15)/[s(s+10)(s+20)] e realimentação unitária. O objetivo é projetar um compensador PD com filtro derivativo que:
- Cancele o polo em s=−10 (colocando um zero em −10).
- Ao aplicar um degrau unitário, tenhamos ultrapassagem máxima UP≤25% e tempo de pico tp≤0,150 s.
Conteúdo: sistemas de controle, relação entre ultrapassagem/damping ratio ζ, tempo de pico e frequência natural ωn, locus de raízes (condição de módulo para achar K), e compensador PD com filtro (C(s)=K(1+Td s)/(1+Td s/N)).
Vamos precisar:
- Fórmulas de ultrapassagem máxima e tp para sistema de 2º ordem,
- Igualar a localização dos polos dominantes a s=−ζωn±jωn√(1−ζ²),
- Condição de módulo |L(s)|=1 para achar o ganho K,
- Escolher Td para zc=10 para cancelar polo em −10.
Passo 2
Transformando requisitos em ζ e ωn:
- UP≤25% ⇒ fórmula UP=exp(−ζπ/√(1−ζ²))≤0.25.
Resolvend o “chute” padrão dá ζ≈0.40 (mais precisamente ζ≃0.404). - tp≤0,150 s ⇒ tp=π/(ωn√(1−ζ²))≤0.15
⇒ ωn≥π/(0.15·√(1−0.404²))≃22.85 rad/s.
Logo, queremos polos dominantes em
s1,2=−ζωn±jωn√(1−ζ²)≈−(0.404·22.85)±j(22.85·√(1−0.404²))
≃−9.23±j21.0.
s1,2=−ζωn±jωn√(1−ζ²)≈−(0.404·22.85)±j(22.85·√(1−0.404²))
≃−9.23±j21.0.
Passo 3
Zero do compensador p/ cancelar polo em −10 ⇒ colocamos zc=10.
Num compensador PD puro o zero está em s=−1/Td, logo:
1/Td=10 ⇒ Td=0.1 s.
Num compensador PD puro o zero está em s=−1/Td, logo:
1/Td=10 ⇒ Td=0.1 s.
Passo 4
Como pediram filtro derivativo, usamos a forma
C(s)=K·(1+Td s)/(1+Td s/N).
Escolhemos N=10 (valor típico), então
C(s)=K·(1+0.1 s)/(1+0.01 s).
C(s)=K·(1+Td s)/(1+Td s/N).
Escolhemos N=10 (valor típico), então
C(s)=K·(1+0.1 s)/(1+0.01 s).
Passo 5
Agora achamos K impondo a condição de módulo do L(s)=G(s)C(s) para s = −9.23 + j 21.0:
L(s)=K·20·(s+15)·(1+0.1 s) / [s(s+10)(s+20)(1+0.01 s)]
Mas o zero em −10 cancela o polo (s+10), e o filtro (1+0.01s)≈1 em alta frequência.
Então aproximamos:
L(s)≈K·20·(0.1s²+2.5s+15)/[s(s+20)].
L(s)=K·20·(s+15)·(1+0.1 s) / [s(s+10)(s+20)(1+0.01 s)]
Mas o zero em −10 cancela o polo (s+10), e o filtro (1+0.01s)≈1 em alta frequência.
Então aproximamos:
L(s)≈K·20·(0.1s²+2.5s+15)/[s(s+20)].
Para s=−9.23+j21.0:
– Calcular s²: (−9.23 + j21.0)² ≃ −355.8 − j387.7
– 0.1s²+2.5s+15 ≃ (−43.66 + j13.73) ⇒ |…|≃46.65
– Numerador ≃20·46.65=933
– |s|=√(9.23²+21²)=22.85, |s+20|=√(10.77²+21²)=23.61 ⇒ denom |…|≃22.85·23.61=540
– Calcular s²: (−9.23 + j21.0)² ≃ −355.8 − j387.7
– 0.1s²+2.5s+15 ≃ (−43.66 + j13.73) ⇒ |…|≃46.65
– Numerador ≃20·46.65=933
– |s|=√(9.23²+21²)=22.85, |s+20|=√(10.77²+21²)=23.61 ⇒ denom |…|≃22.85·23.61=540
Condição |L(s)|=1 ⇒ K·933/540=1 ⇒ K≃0.58.
Resposta
O compensador PD com filtro fica:
cujo zero a −10 cancela o polo de malha aberta e o ganho K=0.58 garante UP≤25% e tp≤0.15 s.