Considere a planta G(s)=20(s+15)s(s+10)(s+20) em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Projete um compensador PD com filtro derivativo, de modo que ao ser aplicada uma entrada do tipo degrau unitário, o sinal de saída apresente os seguintes requisitos de desempenho: U P <= 25 % e tp <= 0,150 segundos. Posicione o zero do compensador, de modo a cancelar o polo de malha aberta p=-10.

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar isso com calma. Tem um sistema de malha fechada com G(s)=20(s+15)/[s(s+10)(s+20)] e realimentação unitária. O objetivo é projetar um compensador PD com filtro derivativo que:
  1. Cancele o polo em s=−10 (colocando um zero em −10).
  2. Ao aplicar um degrau unitário, tenhamos ultrapassagem máxima UP≤25% e tempo de pico tp≤0,150 s.
Conteúdo: sistemas de controle, relação entre ultrapassagem/damping ratio ζ, tempo de pico e frequência natural ωn, locus de raízes (condição de módulo para achar K), e compensador PD com filtro (C(s)=K(1+Td s)/(1+Td s/N)).
Vamos precisar:
  • Fórmulas de ultrapassagem máxima e tp para sistema de 2º ordem,
  • Igualar a localização dos polos dominantes a s=−ζωn±jωn√(1−ζ²),
  • Condição de módulo |L(s)|=1 para achar o ganho K,
  • Escolher Td para zc=10 para cancelar polo em −10.

Passo 2

Transformando requisitos em ζ e ωn:
  1. UP≤25% ⇒ fórmula UP=exp(−ζπ/√(1−ζ²))≤0.25.
    Resolvend o “chute” padrão dá ζ≈0.40 (mais precisamente ζ≃0.404).
  2. tp≤0,150 s ⇒ tp=π/(ωn√(1−ζ²))≤0.15
    ⇒ ωn≥π/(0.15·√(1−0.404²))≃22.85 rad/s.
Logo, queremos polos dominantes em
s1,2=−ζωn±jωn√(1−ζ²)≈−(0.404·22.85)±j(22.85·√(1−0.404²))
≃−9.23±j21.0.

Passo 3

Zero do compensador p/ cancelar polo em −10 ⇒ colocamos zc=10.
Num compensador PD puro o zero está em s=−1/Td, logo:
1/Td=10 ⇒ Td=0.1 s.

Passo 4

Como pediram filtro derivativo, usamos a forma
C(s)=K·(1+Td s)/(1+Td s/N).
Escolhemos N=10 (valor típico), então
C(s)=K·(1+0.1 s)/(1+0.01 s).

Passo 5

Agora achamos K impondo a condição de módulo do L(s)=G(s)C(s) para s = −9.23 + j 21.0:
L(s)=K·20·(s+15)·(1+0.1 s) / [s(s+10)(s+20)(1+0.01 s)]
Mas o zero em −10 cancela o polo (s+10), e o filtro (1+0.01s)≈1 em alta frequência.
Então aproximamos:
L(s)≈K·20·(0.1s²+2.5s+15)/[s(s+20)].
Para s=−9.23+j21.0:
– Calcular s²: (−9.23 + j21.0)² ≃ −355.8 − j387.7
– 0.1s²+2.5s+15 ≃ (−43.66 + j13.73) ⇒ |…|≃46.65
– Numerador ≃20·46.65=933
– |s|=√(9.23²+21²)=22.85, |s+20|=√(10.77²+21²)=23.61 ⇒ denom |…|≃22.85·23.61=540
Condição |L(s)|=1 ⇒ K·933/540=1 ⇒ K≃0.58.

Resposta

O compensador PD com filtro fica:
C(s);=;0.58;1+0.1,s1+0.01,s,,
cujo zero a −10 cancela o polo de malha aberta e o ganho K=0.58 garante UP≤25% e tp≤0.15 s.

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