Considere a planta G(s)=20(s+15)s(s+10)(s+20) em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Esboce o lugar das raízes de C(s)G(s). Apresente todos os ramos, polos e zeros de malha aberta e fechada.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente desenhar o Lugar das Raízes (root locus) do sistema em malha fechada com realimentação negativa e unitária, onde a planta (em malha aberta) é
G(s)=20,(s+15)s,(s+10),(s+20)
Conteúdo: teoria de Lugar das Raízes (root locus).
O que vamos precisar:
  • Identificar polos e zeros da função em malha aberta.
  • Saber em quais trechos do eixo real o root locus existe.
  • Calcular número de ramos, assíntotas, centróide e ângulos de assíntota.
  • Descrever para onde cada ramo “anda” conforme cresce de 0 a .

Passo 2

Primeiro, achamos polos e zeros de :
  • Polos em (denominador).
  • Zero em (numerador).
    Como temos 3 polos e 1 zero, o número de ramos do locus é igual a 3 (um para cada polo). Dois desses ramos vão para o infinito (porque há mais polos que zeros) e um vai para o zero em .

Passo 3

Agora vemos onde no eixo real o locus existe. A regra é: em cada ponto do eixo real, contamos quantos polos + zeros estão à direita; se esse número for ímpar, o locus passa ali.
  • Para : à direita temos polos em e o zero em → total 4 (par) → sem locus.
  • Entre e : à direita temos polos em e o zero em (pois ) → total 3 (ímpar) → locus existe.
  • Entre e : à direita só → 2 (par) → nada.
  • Entre e : à direita só → 1 (ímpar) → locus existe.
  • Para : nada à direita → 0 (par) → sem locus.
    Conclusão: há ramos sobre o eixo real nos intervalos e .

Passo 4

Teoria das assíntotas (para ramos que vão ao infinito):
  • Número de assíntotas = número de polos − número de zeros = phiq = (2q+1),180^circn-m =(2q+1),180^circ2 para q=0,1 .
  • Ângulos das assíntotas: sigmaa =sum(polos)-sum(zeros)n-m =(0-10-20)-(-15)2 =-30+152 =-7,5 Logo e (ou ).
  • Centróide das assíntotas:

Passo 5

Origem e destino dos ramos:
  • Em os polos fechados coincidem com os polos abertos: em .
  • À medida que cresce, três ramos saem desses pontos:
    1. O ramo que sai de percorre e termina em (o zero finito).
    2. Os ramos que saem de e de se encontram (num ponto de breakaway em ) e depois seguem para o infinito ao longo das duas assíntotas de ângulos e , saindo do centróide em .

Passo 6

Resumo gráfico:
  • Polos abertos: em .
  • Zero aberto: em .
  • Segmentos reais ativos: de até , e de até .
  • Assíntotas partindo de com ângulos .

Resposta

O lugar das raízes de em malha fechada possui três ramos saindo de . Um ramo caminha pelo eixo real de até o zero em . Os outros dois se unem num ponto de breakaway em e seguem para o infinito segundo duas assíntotas centradas em com ângulos de e .
Polos abertos: . Zero aberto: . Polos fechados se movem conforme descrito.

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