Considere a planta
em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Esboce o lugar das raízes de
. Apresente todos os ramos, polos e zeros de malha aberta e fechada.
Esboce o lugar das raízes de
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente desenhar o Lugar das Raízes (root locus) do sistema em malha fechada com realimentação negativa e unitária, onde a planta (em malha aberta) é
Conteúdo: teoria de Lugar das Raízes (root locus).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Identificar polos e zeros da função em malha aberta.
- Saber em quais trechos do eixo real o root locus existe.
- Calcular número de ramos, assíntotas, centróide e ângulos de assíntota.
- Descrever para onde cada ramo “anda” conforme
cresce de 0 a .
Passo 2
Primeiro, achamos polos e zeros de
:
- Polos em
(denominador). - Zero em
(numerador).
Como temos 3 polos e 1 zero, o número de ramos do locus é igual a 3 (um para cada polo). Dois desses ramos vão para o infinito (porque há mais polos que zeros) e um vai para o zero em.
Passo 3
Agora vemos onde no eixo real o locus existe. A regra é: em cada ponto do eixo real, contamos quantos polos + zeros estão à direita; se esse número for ímpar, o locus passa ali.
- Para
: à direita temos polos em e o zero em → total 4 (par) → sem locus. - Entre
e : à direita temos polos em e o zero em (pois ) → total 3 (ímpar) → locus existe. - Entre
e : à direita só → 2 (par) → nada. - Entre
e : à direita só → 1 (ímpar) → locus existe. - Para
: nada à direita → 0 (par) → sem locus.
Conclusão: há ramos sobre o eixo real nos intervalose .
Passo 4
Teoria das assíntotas (para ramos que vão ao infinito):
- Número de assíntotas = número de polos − número de zeros =
. - Ângulos das assíntotas:
Logo e (ou ). - Centróide das assíntotas:
Passo 5
Origem e destino dos ramos:
- Em
os polos fechados coincidem com os polos abertos: em . - À medida que
cresce, três ramos saem desses pontos: - O ramo que sai de
percorre e termina em (o zero finito). - Os ramos que saem de
e de se encontram (num ponto de breakaway em ) e depois seguem para o infinito ao longo das duas assíntotas de ângulos e , saindo do centróide em .
- O ramo que sai de
Passo 6
Resumo gráfico:
- Polos abertos:
em . - Zero aberto:
em . - Segmentos reais ativos: de
até , e de até . - Assíntotas partindo de
com ângulos .
Resposta
O lugar das raízes de
em malha fechada possui três ramos saindo de
. Um ramo caminha pelo eixo real de
até o zero em
. Os outros dois se unem num ponto de breakaway em
e seguem para o infinito segundo duas assíntotas centradas em
com ângulos de
e
.
Polos abertos: . Zero aberto:
. Polos fechados se movem conforme descrito.
Polos abertos: