Considere a planta G(s)=1010 s^2+110 s+240 em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Esboce o lugar das raízes.

Passo 1

Beleza, então a questão diz: “Temos a planta
G(s)=1010s^2+110s+240
num sistema de malha fechada com realimentação negativa unitária. Pede pra esboçar o lugar das raízes.”
Isso é lugar das raízes (root locus). Vamos precisar de:
1) Expressar o ganho de malha aberta com um parâmetro .
2) Identificar polos e zeros de .
3) Ver quais partes do eixo real pertencem ao locus.
4) Calcular assimptotas (centro e ângulos).
5) Ver ponto de breakaway (onde os ramos se separam).
Então bora resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, colocamos o ganho explícito. No esquema de root locus, normalmente escrevemos
L(s)=K,G(s)=K;1010s^2+110s+240,
Podemos simplificar dividindo tudo por 10:
L(s)=K;1s^2+11s+24,

Passo 3

Agora identificamos polos e zeros de :
  • Zeros: não tem nenhum (numerador constante).
  • Polos: resolvemos , fatorando dá .
    Logo, polos em e .

Passo 4

Em seguida, vemos quais trechos do eixo real são parte do locus. A regra é: num ponto do real, o locus existe se o número de polos+zeros à direita de for ímpar.
  • Para : não tem polos/zeros à direita → 0 → até (par) → não está no locus.
  • Para : só o polo em está à direita → 1 → ímpar → está no locus.
  • Para : polos em e estão à direita → 2 → par → fora do locus.
    Logo, o locus fica apenas entre e .

Passo 5

Agora as assimptotas: como temos sigmaa=sumpolos-sumzerosn-m =(-3)+(-8)2= -5,5, polos e zeros, há assimptotas.
  • Centro das assimptotas (centroid): média dos polos menos zeros,$$\sigma_a=\frac{\sumpolos-\sumzeros}{n-m}
          =\frac{(-3)+(-8)}{2}= -5{,}5\,. $$
    
  • Ângulos das assimptotas: , com .
    Para : ; para : (ou ).
    Isto significa que a partir do ponto no real, um ramo vai para cima e outro para baixo.

Passo 6

O breakaway point (onde os dois ramos se encontram e se separam) está entre 1+L(s)=0;Longrightarrow;K=-1G(s)=-(s^2+11s+24), e dKds=-(2s+11)=0Longrightarrow s=-112=-5,5, .
A condição é , com

Então
Perfeito, cai direitinho no centro das assimptotas.

Passo 7

Não temos zeros finitos para cuidar de ângulos de chegada/departida, e não há polos complexos para calcular ângulos de saída.

Resposta

O lugar das raízes começa em e em , caminha ao longo do eixo real entre esses valores até se encontrar em . Aí, a partir de , os dois ramos vão para o infinito formando assimptotas verticais (ângulos de ) centradas em .

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