Considere a planta
em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Esboce o lugar das raízes.
Esboce o lugar das raízes.
Passo 1
Beleza, então a questão diz: “Temos a planta
num sistema de malha fechada com realimentação negativa unitária. Pede pra esboçar o lugar das raízes.”
Isso é lugar das raízes (root locus). Vamos precisar de:
1) Expressar o ganho de malha aberta com um parâmetro
2) Identificar polos e zeros de
3) Ver quais partes do eixo real pertencem ao locus.
4) Calcular assimptotas (centro e ângulos).
5) Ver ponto de breakaway (onde os ramos se separam).
Então bora resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, colocamos o ganho explícito. No esquema de root locus, normalmente escrevemos
Podemos simplificar dividindo tudo por 10:
Passo 3
Agora identificamos polos e zeros de
:
- Zeros: não tem nenhum (numerador constante).
- Polos: resolvemos
, fatorando dá .
Logo, polos eme .
Passo 4
Em seguida, vemos quais trechos do eixo real são parte do locus. A regra é: num ponto
do real, o locus existe se o número de polos+zeros à direita de
for ímpar.
- Para
: não tem polos/zeros à direita → 0 → até (par) → não está no locus. - Para
: só o polo em está à direita → 1 → ímpar → está no locus. - Para
: polos em e estão à direita → 2 → par → fora do locus.
Logo, o locus fica apenas entree .
Passo 5
Agora as assimptotas: como temos
polos e
zeros, há
assimptotas.
- Centro das assimptotas (centroid): média dos polos menos zeros,$$\sigma_a=\frac{\sumpolos-\sumzeros}{n-m}
=\frac{(-3)+(-8)}{2}= -5{,}5\,. $$
- Ângulos das assimptotas:
, com .
Para: ; para : (ou ).
Isto significa que a partir do pontono real, um ramo vai para cima e outro para baixo.
Passo 6
O breakaway point (onde os dois ramos se encontram e se separam) está entre
e
.
A condição é , com
A condição é
Então
Perfeito, cai direitinho no centro das assimptotas.
Passo 7
Não temos zeros finitos para cuidar de ângulos de chegada/departida, e não há polos complexos para calcular ângulos de saída.
Resposta
O lugar das raízes começa em
e em
, caminha ao longo do eixo real entre esses valores até se encontrar em
. Aí, a partir de
, os dois ramos vão para o infinito formando assimptotas verticais (ângulos de
) centradas em
.