Um sistema de controle em malha fechada com realimentação negativa unitária apresenta a seguinte função de transferência de ramo direto:
K G(s)=K(s+2)s(s-1)
Determine o valor do ganho K, de modo que a função de transferência de malha fechada seja estável e apresente um fator de amortecimento xi=0,707.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema em malha fechada com realimentação negativa unitária e função de transferência em malha aberta
K,G(s)=K(s+2)s(s-1),
O que a gente quer é achar o valor de de modo que a função de transferência em malha fechada seja estável e tenha fator de amortecimento .
Conteúdo: teoria de funções de transferência em malha fechada, caracterização de segundo ordem (amortecimento e frequência natural) e critérios de estabilidade para polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de transferência em malha fechada:
T(s)=K,G(s)1+K,G(s) = K(s+2)s(s-1)1+K(s+2)s(s-1) = K(s+2)s(s-1)+K(s+2),
O denominador é o polinômio característico:
De

Passo 3

A teoria diz que um sistema de segunda ordem padrão tem denominador
s^2 + 2xiomegan,s + omegan^2,,
onde é o fator de amortecimento e a frequência natural.
Comparando com , temos:
1)
2)

Passo 4

Já sabemos 2cdot0,707;omegan = K-1Longrightarrow1,414,omegan = K-1Longrightarrow omegan = K-11,414, . Da equação 1:
l(K-11,414r)^2 = 2KLongrightarrow(K-1)^22 = 2KLongrightarrow (K-1)^2 = 4K,
Substituindo em K^2 -2K +1 =4KLongrightarrow K^2 -6K +1 =0, :
K = 6 pm raiz36 -42 = 6 pm raiz322 = 3 pm 2raiz2,
Expandindo:

Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Pra o sistema ser estável, o polinômio precisa ter coeficientes positivos:
  • .
    Logo só vale (porque ).

Resposta

boxedK = 3 + 2raiz2 approx 5,828,

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