Considere a planta G(s)=1010 s^2+110 s+240 em um sistema de malha fechada com realimentação negativa e unitária:
Ao aplicar uma entrada do tipo degrau unitário, o sinal de saída deve apresentar os seguintes requisitos de desempenho: U P <= 16,3 % e tp=0,5 segundos. Verifique se um controlador proporcional é viável nesta situação, e em caso afirmativo, determine o valor do ganho K. Posicione o polo de malha fechada no lugar das raízes.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma planta
G(s)=1010s^2+110s+240
em malha fechada unitária, e queremos que, ao aplicarmos um degrau unitário, o sistema tenha:
• Sobressinal (percent overshoot) UP <= 16,3%
• Tempo de pico tp = 0,5,s
O conteúdo envolvido é a análise de sistemas de segunda ordem:
  1. Equação característica de malha fechada
  2. Relações de zeta (coeficiente de amortecimento), omegan (frequência natural), UP e tp.
    Para resolver, vamos:
  • Escrever a char. eq. com ganho K
  • Expressar zeta e omegan em função de K
  • Impor as especificações e ver se dá para ajustar só com um ganho proporcional.

Passo 2

Char. eq. de malha fechada com C(s)=K e realimentação unitária é
$$1 + K,G(s) = 0
\quad\Longrightarrow\quad 1 + \frac{10K}{10s^2+110s+240}=0 1 + K,G(s) = 0 Longrightarrow 1 + 10K10s^2+110s+240=0á10s^2 + 110s +240 +10K = 0$$
ou, dividindo por 10,
10s^2+110s+240

Passo 3

Comparando (1) com a forma padrão
s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2 = 0
vemos que
2zeta,omegan = 11
omegan^2 = 24 + K
Além disso:
• Tempo de pico:
tp = piomeganraiz1-zeta^2 = 0,5Longrightarrow omeganraiz1-zeta^2 = pi0,5=2pi
• Sobressinal:
UP = e^-zetapiraiz1-zeta^2times100%;<= 16,3%

Passo 4

Como só temos um parâmetro livre ( K), vamos usar o requisito de tp=0,5,s para definir K e, em seguida, checar UP.
  1. De 2zetaomegan=11 e omegan^2=24+K zeta = 112omegan.
  2. De tp=0,5,s:
    omeganraiz1-zeta^2 = 2pi ;Longrightarrow; omegan^2 (1-zeta^2) = 4pi^2
    Substituindo zeta^2 = 1214omegan^2:
    omegan^2 l(1 - 1214omegan^2r) = 4pi^2 ;Longrightarrow; 4,omegan^2 - 1214 = 4pi^2 ;Longrightarrow; omegan^2 = 24 + K = 4pi^2cdot4 + 1214 = 69,728
    Logo
    K = 69,728 - 24 = 45,728,
  3. Verificando o sobressinal com esse K:
    zeta = 112raiz69,728 approx 0,6585
    $$UP = e{-\frac{0{,}6585\pi}{\sqrt{1-0{,}65852}}}\times100%
    = e^{-\frac{0{,}6585\pi}{0{,}7528}}\times100% \approx 6{,}4% < 16{,}3%$$
Perfeito: UP = e^-0,6585piraiz1-0,6585^2times100% = e^-0,6585pi0,7528times100% approx 6,4% < 16,3%s exato e tp=0,5, ficou bem abaixo do limite.

Resposta

Sim, um controlador proporcional é viável.
O ganho deve ser
boxedK approx 45,73
e os polos de malha fechada ficam em
$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
      = -5{,}5 \pm j\,6{,}283\,. $$

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