Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
d y(t)d t+0.1 y(t)=0.5 u(t)^2

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Para a EDO
dy(t)dt + 0.1,y(t) = 0.5,u(t)^2,
a gente precisa provar se ela é linear ou não, usando os princípios de aditividade e homogeneidade.”
Isso é parte de Teoria de Sistemas Lineares e Equações Diferenciais. Vamos precisar lembrar o que é sistema linear (superposição = aditividade + homogeneidade) e testar com o termo .

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Aditividade (superposição): se para duas entradas e as saídas são e , num sistema linear ao aplicar você deve ter .
  2. Homogeneidade (invariância à escala): se você escala a entrada por , a saída escala em também. Ou seja, entrada dá saída .
Se qualquer um desses falhar, o sistema é não linear.

Passo 3

Teste da aditividade:
Suponha que com entrada dYdt + 0.1,Y = 0.5,[u1(t)+u2(t)]^2 você tenha solução [u1+u2]^2 = u1^2 + 2,u1,u2 + u2^2 , e com Y neq y1 + y2 tenha .
Para , a equação fica
Mas
Então o termo de entrada não separa em ; aparece um cruzamento . Logo
Falha a aditividade, já dá pra concluir não linear.

Passo 4

Teste da homogeneidade (só reforçando):
Se escalamos a entrada por dYdt + 0.1,Y = 0.5,[alpha,u(t)]^2 = 0.5,alpha^2,u(t)^2 , , a equação vira
Pra ser linear, a saída teria que ser . Mas o lado direito ficou multiplicado por , não por . Então também falha homogeneidade.

Resposta

A equação é não linear.

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