Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Para a EDO
a gente precisa provar se ela é linear ou não, usando os princípios de aditividade e homogeneidade.”
Isso é parte de Teoria de Sistemas Lineares e Equações Diferenciais. Vamos precisar lembrar o que é sistema linear (superposição = aditividade + homogeneidade) e testar com o termo .
Isso é parte de Teoria de Sistemas Lineares e Equações Diferenciais. Vamos precisar lembrar o que é sistema linear (superposição = aditividade + homogeneidade) e testar com o termo
Passo 2
Teoria rápida:
- Aditividade (superposição): se para duas entradas
e as saídas são e , num sistema linear ao aplicar você deve ter . - Homogeneidade (invariância à escala): se você escala a entrada por
, a saída escala em também. Ou seja, entrada dá saída .
Se qualquer um desses falhar, o sistema é não linear.
Passo 3
Teste da aditividade:
Suponha que com entrada você tenha solução
, e com
tenha
.
Para , a equação fica
Suponha que com entrada
Para
Mas
Então o termo de entrada não separa em
; aparece um cruzamento
. Logo
Falha a aditividade, já dá pra concluir não linear.
Passo 4
Teste da homogeneidade (só reforçando):
Se escalamos a entrada por ,
, a equação vira
Se escalamos a entrada por
Pra ser linear, a saída
teria que ser
. Mas o lado direito ficou multiplicado por
, não por
. Então também falha homogeneidade.
Resposta
A equação
é não linear.