Uma seção retangular de altura \mathrm{h}=48 \mathrm{~cm} e largura \mathrm{b}=13 \mathrm{~cm} tem uma distribuição de tensões tal que as tensões normais nas fibras mais afastadas inferior \left(\sigma_{\mathrm{i}}\right) e superior \left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) valem 5 MPa e 49 MPa respectivamente.
Determinar os valores da solicitação de esforço normal e de momento fletor atuando no centroíde da seção.
Forneça o valor do esforço normal:
Resposta:
Resposta
kN ◯
N ◯
kgf ◯

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos pegos do enunciado):
  • Altura da seção: h=48\\ \mathrm{cm}.
  • Largura da seção: b=13\\ \mathrm{cm}.
  • Tensão normal na fibra mais afastada inferior (fundo): \sigma_{\mathrm{i}}=5\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão normal na fibra mais afastada superior (topo): \sigma_{\mathrm{s}}=49\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede:
  • Determinar a solicitação de esforço normal N que atua no centróide da seção.
  • Determinar o momento fletor M que atua no centróide da seção.

Passo 2

Modelo físico e equação fundamental que vamos usar.
Quando uma seção está sujeita simultaneamente a um esforço axial N e a um momento fletor M (referido ao centróide), a tensão normal ao longo da altura varia linearmente segundo a fórmula conhecida:
\sigma(y)=\frac{N}{A}+\frac{M}{I}\,y,
onde:
  • \sigma(y) é a tensão normal no ponto cuja coordenada vertical (em relação ao centróide) é y (positiva para cima),
  • A é a área da seção (A=b\,h),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro que passa pelo centróide (para o retângulo \;I=\dfrac{b h^{3}}{12}),
  • N é a força normal (positiva se trativa, conforme convenção escolhida),
  • M é o momento fletor (sinal conforme convenção; aqui o sinal será obtido automaticamente pelas equações).
Essa equação diz: a tensão média \dfrac{N}{A} (devida ao esforço axial) mais o efeito linear \dfrac{M}{I}y (devido à flexão) dá a tensão em cada fibra.

Passo 3

Posições das fibras extremas e equações para as tensões dadas.
O centróide está no meio da altura, logo as fibras extremas ficam em y=+\dfrac{h}{2} (superior) e y=-\dfrac{h}{2} (inferior). Aplicando a equação da tensão nestes dois pontos obtemos:
\frac{N}{A}+\frac{M}{I}\left(-\frac{h}{2}\right)=\sigma_{\mathrm{i}}
\frac{N}{A}+\frac{M}{I}\left(+\frac{h}{2}\right)=\sigma_{\mathrm{s}}
Essas são duas equações lineares nas incógnitas \dfrac{N}{A} e \dfrac{M}{I}.

Passo 4

Eliminação para encontrar M.
Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se \dfrac{N}{A} e obtém-se uma expressão direta para \dfrac{M}{I}:
\left(\frac{N}{A}+\frac{M}{I}\frac{h}{2}\right)-\left(\frac{N}{A}-\frac{M}{I}\frac{h}{2}\right)=\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}
\Rightarrow \frac{M}{I}\,h=\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}
Portanto
M = I\;\frac{\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}}{h}.

Passo 5

Cálculo da área A (usar unidades SI para consistência com MPa = \mathrm{N/m^2}).
Converter as dimensões para metros:
h=48\\ \mathrm{cm}=0,48\\ \mathrm{m},\qquad b=13\\ \mathrm{cm}=0,13\\ \mathrm{m}.
A área é
A=b\,h=0,13\cdot0,48=0,0624\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Cálculo do momento de inércia I da seção retangular em relação ao eixo que passa pelo centróide (e é horizontal).
Fórmula:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Substituindo:
I=\frac{0,13\cdot(0,48)^{3}}{12}.
Calcule passo a passo:
(0,48)^{3}=0,110592,
0,13\cdot0,110592=0,014377,
I=\frac{0,014377}{12}=0,0011980833\\ \mathrm{m^{4}}.
Podemos escrever
I\approx1,19808\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 7

Cálculo do momento fletor M usando a fórmula do Passo 4.
Diferença das tensões:
\sigma_{\mathrm{s}}-\sigma_{\mathrm{i}}=49-5=44\\ \mathrm{MPa}=44\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
M=I\;\frac{44\times10^{6}}{0,48}.
Substituindo I:
M=1,1980833\times10^{-3}\cdot\frac{44\times10^{6}}{0,48}.
Calcule numericamente:
M\approx1,09824\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m}.
Em unidades mais usuais:
M\approx109,82\\ \mathrm{kN\,m}.

Passo 8

Cálculo do esforço normal N.
Somando as duas equações do Passo 3 (para eliminar M) obtém-se:
2\frac{N}{A}=\sigma_{\mathrm{i}}+\sigma_{\mathrm{s}}
\Rightarrow \frac{N}{A}=\frac{\sigma_{\mathrm{i}}+\sigma_{\mathrm{s}}}{2}.
Portanto N=A\cdot tensão média. A tensão média é
\frac{\sigma_{\mathrm{i}}+\sigma_{\mathrm{s}}}{2}=\frac{5+49}{2}=27\\ \mathrm{MPa}=27\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Como A=0,0624\\ \mathrm{m^{2}},
N=A\cdot27\times10^{6}=0,0624\cdot27\times10^{6}=1,6848\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Em kN:
N\approx1,6848\times10^{3}\\ \mathrm{kN}=1684,8\\ \mathrm{kN}.
Em quilograma-força (usa-se 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N}):
N\approx\frac{1,6848\times10^{6}}{9,80665}\approx1,71774\times10^{5}\\ \mathrm{kgf}\\ (\approx171\,774\\ \mathrm{kgf}).

Passo 9

Observação final sobre sinais e sentido: os cálculos acima deram valores numéricos positivos para N e M. O sinal físico (compressão vs tração, sentido do momento) depende da convenção adotada; aqui apresentamos módulos e os valores numéricos correspondentes à distribuição de tensões fornecida ( \sigma_{\mathrm{top}}>\sigma_{\mathrm{bottom}}).

Resposta

N=1,6848\times10^{6}\\ \mathrm{N}=1,6848\times10^{3}\\ \mathrm{kN}=1,71774\times10^{5}\\ \mathrm{kgf}
M=1,09824\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m}=109,82\\ \mathrm{kN\,m}

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