Uma seção retangular de altura \mathrm{h}=48 \mathrm{~cm} e largura \mathrm{b}=13 \mathrm{~cm} tem uma distribuição de tensões tal que as tensões normais nas fibras mais afastadas inferior \left(\sigma_{\mathrm{i}}\right) e superior \left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) valem 5 MPa e 49 MPa respectivamente.
Determinar os valores da solicitação de esforço normal e de momento fletor atuando no centroíde da seção.
Forneça o valor do esforço normal:
Resposta:
Resposta
kN ◯
N ◯
kgf ◯
Determinar os valores da solicitação de esforço normal e de momento fletor atuando no centroíde da seção.
Forneça o valor do esforço normal:
Resposta
kN ◯
kgf ◯
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (todos pegos do enunciado):
- Altura da seção:
. - Largura da seção:
. - Tensão normal na fibra mais afastada inferior (fundo):
. - Tensão normal na fibra mais afastada superior (topo):
.
O que se pede:
- Determinar a solicitação de esforço normal
que atua no centróide da seção. - Determinar o momento fletor
que atua no centróide da seção.
Passo 2
Modelo físico e equação fundamental que vamos usar.
Quando uma seção está sujeita simultaneamente a um esforço axial
e a um momento fletor
(referido ao centróide), a tensão normal ao longo da altura varia linearmente segundo a fórmula conhecida:
onde:
-
é a tensão normal no ponto cuja coordenada vertical (em relação ao centróide) é (positiva para cima), -
é a área da seção , -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro que passa pelo centróide (para o retângulo ), -
é a força normal (positiva se trativa, conforme convenção escolhida), -
é o momento fletor (sinal conforme convenção; aqui o sinal será obtido automaticamente pelas equações).
Essa equação diz: a tensão média
(devida ao esforço axial) mais o efeito linear
(devido à flexão) dá a tensão em cada fibra.
Passo 3
Posições das fibras extremas e equações para as tensões dadas.
O centróide está no meio da altura, logo as fibras extremas ficam em
(superior) e
(inferior). Aplicando a equação da tensão nestes dois pontos obtemos:
Essas são duas equações lineares nas incógnitas
e
.
Passo 4
Eliminação para encontrar
.
Subtraindo a primeira equação da segunda, elimina-se
e obtém-se uma expressão direta para
:
Portanto
Passo 5
Cálculo da área
(usar unidades SI para consistência com MPa =
).
Converter as dimensões para metros:
A área é
Passo 6
Cálculo do momento de inércia
da seção retangular em relação ao eixo que passa pelo centróide (e é horizontal).
Fórmula:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Podemos escrever
Passo 7
Cálculo do momento fletor
usando a fórmula do Passo 4.
Diferença das tensões:
Logo
Substituindo
:
Calcule numericamente:
Em unidades mais usuais:
Passo 8
Cálculo do esforço normal
.
Somando as duas equações do Passo 3 (para eliminar
) obtém-se:
Portanto
tensão média. A tensão média é
Como
,
Em kN:
Em quilograma-força (usa-se
):
Passo 9
Observação final sobre sinais e sentido: os cálculos acima deram valores numéricos positivos para
e
. O sinal físico (compressão vs tração, sentido do momento) depende da convenção adotada; aqui apresentamos módulos e os valores numéricos correspondentes à distribuição de tensões fornecida (
).