Considere um poço em um aquífero confinado que penetra completamente a espessura de 18 m do aquífero. Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante de 0,04 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, verificou-se uma redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 150 m de, respectivamente, 4 m e 1,8 \mathrm{~m}. Calcule:
a) a condutividade hidráulica do aquífero.
b) a redução da altura piezométrica a 200 m do poço.

Passo 1

O enunciado dá um poço que penetra totalmente um aquífero confinado de espessura \,18\\ \mathrm{m}\, e bombeia com vazão constante \,Q=0,04\\ \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1}\,. Durante bombeamento em regime permanente foram observadas reduções (rebaixamentos) piezométricas em dois raios:
  • a r_1=50\\ \mathrm{m} a redução é s_1=4\\ \mathrm{m};
  • a r_2=150\\ \mathrm{m} a redução é s_2=1,8\\ \mathrm{m}.
O que pedem:
(a) calcular a condutividade hidráulica K do aquífero;
(b) calcular a redução piezométrica a r=200\\ \mathrm{m} do poço.

Passo 2

Modelo físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em um aquífero confinado, em regime permanente e assumindo meio homogêneo e isotrópico, o escoamento em torno de um poço radial é descrito pela solução de Darcy em coordenadas radiais. A equação de continuidade leva a um fluxo radial estacionário onde a vazão atravessando uma circunferência de raio r é \dfrac{Q}{2\pi r}.
  • Aplicando a lei de Darcy radialmente, obtém-se (passo a passo resumido):
    • A velocidade específica radial (por unidade de seção efetiva) é v_r = -K\,\dfrac{dh}{dr}, onde h(r) é a carga piezométrica (altura) a distância r.
    • A vazão que atravessa a espessura b e circunferência 2\pi r é Q = -2\pi r b K \dfrac{dh}{dr}.
    • Separando variáveis e integrando \dfrac{dh}{dr} = -\dfrac{Q}{2\pi K b}\cdot\dfrac{1}{r} dá, após integração,
h(r) = -\frac{Q}{2\pi K b}\ln r + C,
onde C é constante de integração (determina o nível longe do poço).
  • Definindo o rebaixamento (redução) como s(r)=h_{\infty}-h(r) ou, de forma prática para diferenças entre dois raios,
s(r_1)-s(r_2)=\frac{Q}{2\pi K b}\,\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Aqui:
  • Q é a vazão (positiva para retirada),
  • K é a condutividade hidráulica que queremos encontrar (unidade \mathrm{m\,s^{-1}}),
  • b é a espessura do aquífero ( \mathrm{m}),
  • r_1,r_2 são distâncias do poço ( \mathrm{m}),
  • s(r) é o rebaixamento em \mathrm{m}.
Observação sobre o sinal: a expressão acima dá uma diferença positiva quando r_2>r_1 e s(r_1)>s(r_2), consistente com o fato de que o rebaixamento diminui com a distância.

Passo 3

Isolar K a partir da relação entre os dois pontos medidos:
s_1-s_2=\frac{Q}{2\pi K b}\,\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) \quad\Longrightarrow\quad K=\frac{Q}{2\pi b\,(s_1-s_2)\,\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Agora substituímos os números (todos em TeX):
Q=0,04\\ \mathrm{m^3 s^{-1}},\qquad b=18\\ \mathrm{m}, \qquad s_1-s_2=4-1,8=2,2\\ \mathrm{m}, \qquad \ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{150}{50}\right)=\ln(3)\approx 1,0986122887.
Calculando o denominador passo a passo:
2\pi \approx 6,283185307,
2\pi b = 6,283185307\times 18 \approx 113,0973355,
2\pi b\,(s_1-s_2) \approx 113,0973355\times 2,2 \approx 248,8141379,
2\pi b\,(s_1-s_2)\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)\approx 248,8141379\times 1,0986122887 \approx 273,35017.
Portanto
K \approx \frac{0,04}{273,35017}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 1,464\times 10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(Arredondamento coerente: K\approx 1,46\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}. Se quiser em \mathrm{m\,d^{-1}}: K\cdot 86400\approx 12,6\\ \mathrm{m\,d^{-1}}.)

Passo 4

Agora calculamos o rebaixamento a r=200\\ \mathrm{m}. Usamos a relação de diferença com o ponto conhecido r_1=50\\ \mathrm{m}:
s(r)=s_1-\frac{Q}{2\pi K b}\,\ln\!\left(\frac{r}{r_1}\right).
É mais preciso computar o fator \dfrac{Q}{2\pi K b} a partir dos dados medidos, usando
\frac{Q}{2\pi K b}=\frac{s_1-s_2}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Já calculamos s_1-s_2=2,2\\ \mathrm{m} e \ln(150/50)=\ln 3\approx 1,0986122887, logo
\frac{Q}{2\pi K b}\approx \frac{2,2}{1,0986122887}\approx 2,0025265\\ \mathrm{m}.
Agora \ln\!\left(\dfrac{200}{50}\right)=\ln(4)\approx 1,3862943611. Então
s(200)=4-\;2,0025265\times 1,3862943611 \approx 4-2,77609\approx 1,22391\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensivelmente, a redução a 200\\ \mathrm{m} é aproximadamente 1,22\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo rápido e interpretação: a condutividade encontrada é da ordem de 10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, típica de meios arenosos relativamente permeáveis. O rebaixamento decresce com a distância do poço; em 50\\ \mathrm{m} era 4\\ \mathrm{m}, em 150\\ \mathrm{m} 1,8\\ \mathrm{m} e em 200\\ \mathrm{m} cerca de 1,22\\ \mathrm{m}. Vai dar tudo certo na prova — foco nos passos: (i) reconhecer a equação de Thiem para aquífero confinado, (ii) escrever a diferença entre dois pontos, (iii) isolar K e substituir os números com atenção às unidades.

Resposta

(a) K \approx 1,46\times 10^{-4}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
(b) s(200\\ \mathrm{m}) \approx 1,22\\ \mathrm{m}

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