Considere um poço em um aquífero livre que penetra completamente a espessura do aquífero. Antes da operação do poço, a altura piezométrica era de 40 m . Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante de 0,03 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}, verificou-se uma redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 120 m de, respectivamente, 2,5 \mathrm{~m} e 1,0 \mathrm{~m}. Calcule:
a) a condutividade hidráulica do aquífero.
b) a redução da altura piezométrica a 180 m do poço.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) calcular a condutividade hidráulica do aquífero;
b) calcular a redução da altura piezométrica a 180\\ \mathrm{m} do poço.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • Vazão de bombeamento: Q = 0,03\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}.
  • Altura piezométrica inicial (antes do bombeamento): 40\\ \mathrm{m}.
  • Redução observada a r_{1}=50\\ \mathrm{m}: s_{1}=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Redução observada a r_{2}=120\\ \mathrm{m}: s_{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Queremos a redução s_{3} em r_{3}=180\\ \mathrm{m}.
Observação importante que vou assumir explicitamente (porque é necessária para obter K): como o poço penetra completamente a espessura do aquífero e foi informado que a altura piezométrica antes do bombeamento era 40\\ \mathrm{m}, vou tomar a espessura saturada inicial do aquífero como b=40\\ \mathrm{m}. Se o problema tivesse dado outra espessura física do aquífero, usar-se-ia essa; aqui a única informação disponível é a altura piezométrica inicial, então uso-a como espessura saturada.

Passo 2

Modelo e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para escoamento radial em regime permanente (após longo tempo) em um aquífero homogêneo, isotrópico e totalmente penetrado pelo poço, vale a equação de Thiem (forma logarithmica de regime estacionário — derivada da lei de Darcy e da conservação de massa sob hipótese de fluxo radial e Dupuit):
s(r)=\frac{Q}{2\pi T}\,\ln\!\left(\frac{R}{r}\right),
onde:
  • s(r) é o rebaixamento (redução da altura piezométrica) a uma distância radial r do poço (em metros);
  • Q é a vazão bombeada (em \mathrm{m^{3}\,s^{-1}});
  • T é a transmissividade do aquífero (em \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}), definida por T=K\,b;
  • K é a condutividade hidráulica que queremos (em \mathrm{m\,s^{-1}});
  • b é a espessura saturada do aquífero (em metros);
  • R é algum raio externo onde o rebaixamento é nulo (constante de integração); R é normalmente desconhecido.
Comentário prático: a constante R é desconhecida, mas ao subtrair duas equações medidas em dois raios distintos r_1 e r_2 a constante R desaparece, permitindo calcular T sem conhecer R. Isso é muito útil em provas.

Passo 3

Derivação prática para eliminar R e obter T:
Escrevendo a equação de Thiem para r_1 e r_2:
s_1=\frac{Q}{2\pi T}\ln\!\left(\frac{R}{r_1}\right), \qquad s_2=\frac{Q}{2\pi T}\ln\!\left(\frac{R}{r_2}\right).
Subtraindo as duas equações:
s_1-s_2=\frac{Q}{2\pi T}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Isolando T:
T=\frac{Q}{2\pi (s_1-s_2)}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Essa fórmula dá a transmissividade T apenas com Q, s_1, s_2, r_1, r_2.

Passo 4

Cálculo numérico de T usando os valores dados:
Calcular o termo logarítmico:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{120}{50}\right)=\ln(2{,}4)\approx 0{,}875469.
Diferença de rebaixamentos:
s_1-s_2=2{,}5-1{,}0=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Agora aplicar a expressão de T:
T=\frac{0{,}03}{2\pi\cdot 1{,}5}\cdot 0{,}875469.
Vou calcular passo a passo:
2\pi\cdot 1{,}5 = 3{,}0\pi \approx 9{,}42477796,
0{,}03\times 0{,}875469 \approx 0{,}0262641,
T \approx \frac{0{,}0262641}{9{,}42477796}\approx 0{,}0027895\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
Portanto a transmissividade é aproximadamente T\approx 2{,}79\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a condutividade hidráulica K:
Lembrando que T=K\,b. Usando a suposição b=40\\ \mathrm{m}:
K=\frac{T}{b}=\frac{0{,}0027895}{40}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Fazendo a conta:
K\approx 6{,}9737\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 7{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Para dar uma ideia prática, em unidades mais usadas em hidrogeologia:
K\approx 6{,}97\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\approx 6{,}03\\ \mathrm{m\,dia^{-1}}.
(usar \times86400 s/dia para converter \mathrm{m\,s^{-1}} em \mathrm{m\,dia^{-1}}.)

Passo 6

Calcular a redução s_3 a r_3=180\\ \mathrm{m}.
Método prático: primeiro calcular a constante multiplicativa
A=\frac{Q}{2\pi T}.
Mas já tínhamos usado a relação entre duas medições para obter A de forma simples:
A=\frac{s_1-s_2}{\ln(r_2/r_1)}.
Calculemos A:
A=\frac{1{,}5}{0{,}875469}\approx 1{,}7137\\ \mathrm{m}.
Agora usamos a fórmula de Thiem para obter s(r_3) a partir de s_1:
s_3 = s_1 - A\ln\!\left(\frac{r_3}{r_1}\right).
(essa forma vem de s(r)=A\ln(R/r), então s_3-s_1 = A\ln(r_1/r_3).)
Calcular o log:
\ln\!\left(\frac{r_3}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{180}{50}\right)=\ln(3{,}6)\approx 1{,}280935.
Logo
s_3 = 2{,}5 - 1{,}7137\times 1{,}280935 \approx 2{,}5 - 2{,}1961 \approx 0{,}3039\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensatamente, s_3\approx 0{,}30\\ \mathrm{m}.
(Fazendo checagem rápida usando s_2 e o mesmo A: s_3=s_2 - A\ln(180/120)=1{,}0-1{,}7137\ln(1{,}5)\approx 1{,}0-1{,}7137\times0{,}405465\approx0{,}306\\ \mathrm{m} — concorda dentro do arredondamento.)

Passo 7

Resumo dos resultados calculados e arredondados para apresentação final:
  • Transmissividade T\approx 2{,}79\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}.
  • Condutividade hidráulica K\approx 6{,}97\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (≈ 6{,}03\\ \mathrm{m\,dia^{-1}}).
  • Redução a 180\\ \mathrm{m}: s_3\approx 0{,}30\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) K \approx 6{,}97\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
b) s(180\\ \mathrm{m}) \approx 0{,}30\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados