Considere um poço em um aquífero livre que penetra completamente a espessura do aquífero. Antes da operação do poço, a altura piezométrica era de 40 m . Depois de um longo período de bombeamento com uma vazão constante de
, verificou-se uma redução nas alturas piezométricas a 50 m e a 120 m de, respectivamente,
e
. Calcule:
a) a condutividade hidráulica do aquífero.
b) a redução da altura piezométrica a 180 m do poço.
a) a condutividade hidráulica do aquífero.
b) a redução da altura piezométrica a 180 m do poço.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) calcular a condutividade hidráulica do aquífero;
b) calcular a redução da altura piezométrica a do poço.
a) calcular a condutividade hidráulica do aquífero;
b) calcular a redução da altura piezométrica a
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- Vazão de bombeamento:
. - Altura piezométrica inicial (antes do bombeamento):
. - Redução observada a
: . - Redução observada a
: . - Queremos a redução
em .
Observação importante que vou assumir explicitamente (porque é necessária para obter
): como o poço penetra completamente a espessura do aquífero e foi informado que a altura piezométrica antes do bombeamento era
, vou tomar a espessura saturada inicial do aquífero como
. Se o problema tivesse dado outra espessura física do aquífero, usar-se-ia essa; aqui a única informação disponível é a altura piezométrica inicial, então uso-a como espessura saturada.
Passo 2
Modelo e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para escoamento radial em regime permanente (após longo tempo) em um aquífero homogêneo, isotrópico e totalmente penetrado pelo poço, vale a equação de Thiem (forma logarithmica de regime estacionário — derivada da lei de Darcy e da conservação de massa sob hipótese de fluxo radial e Dupuit):
Para escoamento radial em regime permanente (após longo tempo) em um aquífero homogêneo, isotrópico e totalmente penetrado pelo poço, vale a equação de Thiem (forma logarithmica de regime estacionário — derivada da lei de Darcy e da conservação de massa sob hipótese de fluxo radial e Dupuit):
onde:
-
é o rebaixamento (redução da altura piezométrica) a uma distância radial do poço (em metros); -
é a vazão bombeada (em ); -
é a transmissividade do aquífero (em ), definida por ; -
é a condutividade hidráulica que queremos (em ); -
é a espessura saturada do aquífero (em metros); -
é algum raio externo onde o rebaixamento é nulo (constante de integração); é normalmente desconhecido.
Comentário prático: a constante
é desconhecida, mas ao subtrair duas equações medidas em dois raios distintos
e
a constante
desaparece, permitindo calcular
sem conhecer
. Isso é muito útil em provas.
Passo 3
Derivação prática para eliminar
e obter
:
Escrevendo a equação de Thiem para
e
:
Subtraindo as duas equações:
Isolando
:
Essa fórmula dá a transmissividade
apenas com
,
,
,
,
.
Passo 4
Cálculo numérico de
usando os valores dados:
Calcular o termo logarítmico:
Diferença de rebaixamentos:
Agora aplicar a expressão de
:
Vou calcular passo a passo:
Portanto a transmissividade é aproximadamente
.
Passo 5
Calcular a condutividade hidráulica
:
Lembrando que
. Usando a suposição
:
Fazendo a conta:
Para dar uma ideia prática, em unidades mais usadas em hidrogeologia:
(usar
s/dia para converter
em
.)
Passo 6
Calcular a redução
a
.
Método prático: primeiro calcular a constante multiplicativa
Mas já tínhamos usado a relação entre duas medições para obter
de forma simples:
Calculemos
:
Agora usamos a fórmula de Thiem para obter
a partir de
:
(essa forma vem de
, então
.)
Calcular o log:
Logo
Arredondando sensatamente,
.
(Fazendo checagem rápida usando
e o mesmo
:
— concorda dentro do arredondamento.)
Passo 7
Resumo dos resultados calculados e arredondados para apresentação final:
- Transmissividade
. - Condutividade hidráulica
(≈ ). - Redução a
: .
Resposta
a)
b)
b)